基站選址的統計理論方法研究

夏莉娜 朱亞艷 茆國華 錢夢薇 汪珊珊 程翊

[摘要]本文將基站選址問題簡化為小圓覆蓋大圓問題，并且著重介紹基于蒙特卡羅理論思想的，用單位圓均勻布點方法隨機模擬估計覆蓋面積的統計理論方法，并且引入置信區間增加該方法的準確性。

[關鍵詞]基站選址 隨機模擬 蒙特卡羅方法 置信區間

一、引言

近年來，移動通信技術可謂是發展迅猛，然而通訊信號的發出與接收需要基站的接力中轉. 不僅如此，雷達、衛星等等的通訊工具都有一定的信號接收范圍，而其昂貴的造價容不得其過多的采用. 如何用最少數量的中轉基站保證信號質量和覆蓋率是值得研究的問題.

上述實際問題可通過解決下述數學問題來解決，即：設Ω是一半徑為R的大圓，用n個半徑為r的小圓Ω1，Ω2，…，Ωn（n是正整數）完全覆蓋大圓Ω，即 .對于不同的R和確定的r試確定n的最小值（即小圓的最小個數）.

1.基站選址的理論分析

（1）基于抽屜原理的等分圓周法（適用于n=2，3，4）

小圓個數較少時，情況相對簡單，我們可以用根據抽屜原理來解決這個問題。為方便起見，我們令大圓Ω的半徑為1，先討論在n一定的情況，r的最小值.

根據文獻《用小圓覆蓋大圓》，加以作圖1、圖2說明，我們容易得到：在n=2，3，4時，最小半徑分別為r2=1，

現已求出給定一大圓半徑，分別用2，3，4個小圓覆蓋大圓時的最小小圓半徑. 這與我們一開始提出的求給定一大圓半徑，用已知半徑的小圓覆蓋大圓時的小圓的最小個數等價. 不妨設小圓的半徑為1，大圓的半徑為R，記此時所需要小圓的最小個數是f（R）（它是R的函數）. 則根據上面的討論，我們有：

但是此方法不能推廣到n≥5時，原因是當n≥5時，按照上述方法求出的半徑為的小圓不能覆蓋大圓的全部，例如n=5，時，有圖3所示的結果，而其最優方案應該如圖4，它的最優性也在1983年時被Károly Bezdek證明. 其證明過程繁雜，并且小圓的半徑r很難求出，但是我們可以知道它的半徑范圍為：

對于n≥5的情形一般很難討論，于是我們下面提出用數學統計法來確定小圓的最小半徑。

2.基于Monte Carlo法的數學統計法

首先我們研究覆蓋面積的統計分布，令大圓

小圓的圓心O1，…，Om，相互獨立且服從二維正態分布：

式（3）中的σ12，…，σm2為方差，I2為R2的單位矩陣. 令S表示大圓Ω被m個隨機小圓覆蓋的陰影面積. 這個陰影部分的面積S就是我們要研究的對象. 當的數目在增加時，利用統計中的Monte Carlo方法，可得S的近似分布。

接下來，我們用數論的方法來進行這一問題的隨機模擬。

首先在大圓Ω上構造一個NT網，并假設該網由N個點組成，且這些點在大圓上均勻分布. 若其中有M個點被小圓隨機圓覆蓋，則S的面積可以用：

來估計.

最后我們參考汪文俊等人的基于Monte Carlo法的思想求小圓最小半徑的數學統計法。

理論上，用5000次隨機模擬就包含所有的情況似乎不夠嚴謹. 故我們在這里引入的置信區間. 這里假設顯著性水平α=0.05，即置信度為95%.

假設樣本yk代表模擬計算得到的一系列可靠度值，將yk從小到大排得：

與第一部分類似地，當小圓的半徑為1，大圓的半徑為R時，此時所需要小圓的最小個數：

二、結束語

本文主要針對基站選址的理論方法進行闡述，把復雜的選址問題簡化成小圓覆蓋大圓的問題. 文章采用了等分圓周法（主要應用抽屜原理）、數學統計法（基于Monte Carlo法）來解決小圓覆蓋大圓問題， 并加入置信區間來提高模擬精準度。

但是本文重于理論的分析，操作性有所欠缺，希望有興趣之人可以將其完善。

參考文獻：

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[2]Circles Covering Circles， http：//www2.stetson.edu/～efriedma/circovcir/， 2012，8，28.

[3]汪文俊，陳傳鐘.隨機圓覆蓋面積的統計分布[A]. 海南師范大學學報（自然科學版），2010，23（3）：237-241.

[4]唐瓊婕，肖斌，郭春營.對系統可靠度的不確定度的隨機模擬計算. 質量與可靠性，2011（3）：10-12.

作者簡介：夏莉娜（1990.08—），女，漢，浙江杭州人，在讀本科生，數學與應用科學，職稱：學生，研究方向：概率論與數理統計