觸類旁通, 舉一反三, 拓展思路

雷遠秉

西師版小學數學第九冊第139頁有這樣一道思考題：今天產的雞蛋不超過50個。2個2個地數還剩1個，5個5個地數還剩4個，3個3個地數正好數完。雞蛋最多有多少個？

教學時我首先引導學生利用表格列舉的方法找出這個數。

2個2個地數還剩1個，這個數可能是5、7、9、11、13……47、49。

5個5個地數還剩4個，這個數可能是9、14、19、24……44、49。

3個3個地數正好數完，這個數可能是3、6、9、12……45、48。

通過表格學生較易找出這個數是39。

然后，我利用能被2、3、5整除的數的特征來引導學生這樣思考：“2個2個地數還剩1個”即這個數的一定是“奇數”，“5個5個地數還剩4個”即這個數的個位一定是“4或9”，綜合這兩個條件可以知道這個數果的個位只能是“9”；而“3個3個地數正好數完”，即這個數一定是3的倍數，根據能被3整除的數的特征可知，這個數的十位只能是“3”，因為此前已知道這個數的個數必然是9。再根據條件雞蛋的總個數不能超過50，故而可知道雞蛋個數一定就是39個。

課后我一直在思考：利用列舉的方法來找這個數雖然不失為一個好辦法，但是比較麻煩。而學生剛好學習了倍數和能被2、3、5整除的數的特征，在概念比較模糊，容易混淆的情況下，對于這樣的思考題感到特別抽象，無從下手。對于這樣的一類思考題，有沒有一定的規律可循呢？這些數與公倍數、余數有什么關系呢？我設計了以下幾類變式思考題來研究。

例1：如果一個數（均為非零數，下同）除以6余3，除以7也余3，這個數是多少？

思路：這個數除以6、7后余數都是3，那么這個數減去3后，既能被6整除，又能被7整除，因而這個數減去3后一定是6和7的公倍數，即這個數“減去3”后最少是42，那這個數至少應是45。我們把這個數稱為基數。

除了45外還有哪些數符合條件呢？列舉后我們發現87、129、171、213都符合條件，原來45與6、7的最小公倍數有關，其余的數與6、7的公倍數都有關系，只要是公倍數的倍數加上余數都行，即6×7×N+3都可以。（N≥1，下同）

反思：這類題目的特征是余數相同。不管除數是什么，只要余數相同，其結果即為這兩個除數的公倍數的加上余數，即余同取余，加公倍數。如42×2+3=87、42×5+3=213、42×20+3=843等都符合題目條件。

拓展：如果一個數除以4、6、9后余數都是2，這個數最少是多少？

例2：如果一個數除以3余1，除以8余6，除以9余7，這個數是多少？

思路：這個數加上2后能分別被3、8、9整除，而3、8、9的最小公倍數是72，那么這個數至少應是72-2=70。

反思：這類題目的特征是除數比余數多相同的數即，即除數減余數的差相同。找準這個差后，除數的公倍數減去這個“多”的數就行了，即差同減差，加公倍數，3×3×8×N-2都可以，如72×5-2=358、72×3-2=214也符合題目條件。

例3：一個數除以4余3，除以5余2，這個數至少是多少？

思路：采用表格列舉的方法知道這個數最小是7，即除數與余數之和。其余的數就是4、5的最小公倍數20的倍數加上7，如27、107、2007等。這個題的特征是每一種相除中的除數與余數的和相等，我們總結的方法是和同加和，加公倍數。

這是本類題目中最簡單、最易列舉的例子，但如果將此類例題略作修改，讓題目不具備前三例的特征，學生理解起來就的一定難度，列舉起來也有些繁雜。教學時建議學生列一個表，從表中找出是最小的基數，在這個最小基數的基礎上加上除數的公倍數就行。如：

此表第二、三列：一個數除以4為余3，除以5余1，其最小基數是11（黃色欄），其余數是4、5的最小公倍數的若干倍加上11，即20×N+11，如31、51、71等。

第二、五列：一個數除以4余3，除以7余2，其最小基數是23（綠色欄），其余數是4、7的公倍數的若干倍加上23，即28×N+23，如51、79等。

第三、四列：一個數除以5余1，除以6余5，其最小基數是11，其余數是5、6的公倍數的若干倍加是11，即30×N+11，如41、71、101等。

……

例4：一堆蘋果有200個左右。如果每人都分4個結果剩下30個；如果每人都分6個會差60個。這堆蘋果有多少個？有多少人參與分配？

思路：“每人都分4個”后“剩下30個”，而“每人分6個”時“不僅把原來剩下的30個分完，而且還差60個”，這種分法與前一種分法相比就“多分90個”，是因為“每人多分（6—4）個”造成的，故而就應有（90÷2）個人參與分配，蘋果的個數應為（4×45+30）個。

反思：本例能否借助例一、例二的思路來解答呢？

我們想：每人分4個后剩下30個，即剩下部分加上2湊成32個蘋果，這時蘋果的個數是4的倍數。結合條件的“200個”左右，可以用列舉法找出符合條件的個數可能是194、198、202、206、210、214、218等；“每人分6個時差60個”，就是說蘋果的個數一定是6的倍數，結合條件列舉找出的數可能是192、198、204、210、216、222等，在這兩列數中只有198和210符合條件，但198符合除以4余2這個條件但不符合每人分4個剩下30個這個條件，故而因舍去，只有210符合題意條件。

這個題目我們可以改編成這樣一個如例一或例二的題：一個數除以4余2，除以6剛好整除，這個數約200左右，這個數應是多少？（和同問題）

例5：一隊近2000的士兵列隊。如果每隊排3人，最后一列只有2人；如果每隊排5人，最后一列只的3人；如果每隊排7人，最后一列只的6人。求這隊士兵的人數。

思路條件1：總數近2000人。

條件2：每隊排3人，最后一列只有2人，即除以3余2。

條件3：每隊排5人，最后一列只的3人，即除以5余3。

條件4：每隊排7人，最后一列只的6人，即除以7余6。

條件2與條件4：差同減差，通過列舉找出這個數可能是20、41、62、83、104等。

由條件3可知，這個數加上2（減去3）后一定是5的倍數，即這個數的個位應是3或8。

綜合上述，這個基數應為83。士兵人數是3、5、7的公倍數的若干倍加上83，故而這個數應為105×18+83=1973，這列士兵共有1973人。

拓展：一個數除以2余1，除以5余2，除以7余3，除以9余4，這數至少是幾？

這類思考題在我國古代稱為剩余問題，也叫孫子點兵、韓信點兵，重點是研究余數，在小學我們可以通過列表等方法總結出這類題的解答基本思路：余同取余，差同減差，和同加和，最小公倍相加。