何時退賽分獎金劃算?

沈華

摘要： 本文主要從賽制對比賽雙方的影響、比分對獎金分配的影響兩個方面討論弱者對退賽分獎金的賽制和時機的偏好選擇.

關鍵詞： 概率賽制影響

在中等職業學校國家審定教材《數學》第二冊第94頁閱讀材料1——概率的起源中，講到這樣一個問題：17世紀中葉，有人請教數學家帕斯卡（Pascal）這樣一個問題：一場比賽規定先勝3局為勝，勝者可獲獎金4000元.比賽雙方打到2：1時因故被迫中止，未分最終勝負，比賽組織者認為獎金也應按2：1的比例分配，但遭到已勝2局者的強烈反對，因為他覺得自己獲勝的可能性很大，認為自己吃虧了，究竟應怎樣分配獎金才合理？最終帕斯卡和費爾馬（Fermat）等人經過討論給出了答案.費爾馬是這樣解的：設已勝兩局者為甲，以“1”表示甲勝，“0”則相反，因為再賽兩局必見勝負，所以只要考慮后兩局的比賽結果：11，10，01，00.其中前三種情況為甲勝，僅第四種情況才為乙勝，因此獎金應按3：1的比例分配.我對產生這樣的疑問：通常采用的3局2勝制、5局3勝制，以及7局4勝制，在何時退賽分獎金劃算呢？要解決這個問題，我認為，必須解決兩個問題：一是賽制本身對于選手的影響；二是比分對獎金分配的影響.

一、賽制本身對于選手的影響

現在我們研究一個選手在某一局中獲勝的概率與其在整個比賽中獲勝的概率.

先假設一個參賽者A在每局中獲勝的概率是p，比賽規則為先勝N局者獲勝，比賽共進行2N-1局（假定每場比賽都賽完規定的局數，即使勝負已定，依然把剩下的比賽打完）.

若比賽規定是三局兩勝，則A贏兩局的概率為C■■p■（1-p），A贏三局的概率為p■，得A整場獲勝概率為C■■p■（1-p）+p■（1），令（1）=p′，由于我們主要研究雙方實力相近的情況，即p接近■.為方便下面的計算，可令x=p-■，則整場獲勝的概率p′=（x+■）■+3×（x+■）■·（■-x）=■+■x-2x■.

當x較小時，x■可忽略.經計算，表1給出n個不同p值對應的A獲勝的概率p′.

表1在三局兩勝的比賽中，每局的勝率與整場的勝率的關系

將其轉化為圖來表示：

從圖1易看出：當每局獲勝概率＜0.5時，整場獲勝概率＜每局獲勝概率；當每局獲勝概率=0.5時，整場獲勝概率=每局獲勝概率；當每局獲勝概率＞0.5時，整場獲勝概率＞每局獲勝概率.

圖1（其中直線表示為一局定勝負的情況）

即當雙方實力相當時，三局兩勝制沒有突出優勢；當雙方實力有差距時，差距越大，三局兩勝制越有利于強者.

若比賽規定五局三勝，則A贏三局概率為C■■p■（1-p）■，贏四局概率為C■■p■（1-p），贏五局概率為p■，從而得A整場獲勝的概率為C■■p■（1-p）■+C■■p■（1-p）+p■=10p■-15p■+6p■（2），令（2）=p′，同前，令x=p-■，則

p′=■+■x-5x■+6x■.

把不同的p值代入上式，得表2.

表2在五局三勝的比賽中，每局的勝率與整場的勝率的關系

將表1，表2結果畫在一張圖上表示為：

對比發現，如果一個人在單獨一局中獲勝概率高于■，則整場獲勝概率高于■，且決勝局數越多，他獲得整場勝利概率越大.

由此發現，當一個對手實力較弱時，他喜歡三局兩勝制勝過五局三勝制.

二、比分對獎金分配的影響

下面按照費爾馬的解法分別來看看3局2勝制、5局3勝制、以及7局4勝制中在不同的比分退賽時獎金的分配情況.設“1”為甲勝，“0”為乙勝.

1.3局2勝制

當比分為1∶0時，再賽兩局必見勝負，窮舉后兩局比賽結果：11，10，01，00，其中前三種為甲勝，后一種才是乙勝，故獎金應按3∶1比例分配.

當比分為1∶1時，再賽一局必見勝負，窮舉比賽結果：1，0，顯然獎金應按1∶1比例分配.

2.5局3勝制

當比分為1∶0時，再賽四局必分勝負，窮舉后四局比賽結果：1111，1110，1101，1011，0111，1100，1010，1001，0110，0101，0011，1000，0100，0010，0001，0000，獎金按11∶5比例分配.

當比分為1∶1時，再賽三局必分勝負，窮舉后三局比賽結果：111，110，101，011，100，010，001，000，獎金按1：1分配.

當比分為2∶1時，再賽兩局必分勝負，窮舉后兩局結果：11，10，01，00，獎金按3：1分配.

當比分為2∶2時，再賽一局即分勝負，有兩種結果：1，0，獎金按1：1分配.

3.7局4勝制

當比分為1∶0時，再賽六局必分勝負，后六局所有情況共有64種，其中甲勝的情況有42種，乙勝的情況有22種，故獎金應該按21∶11分配.

當比分為1∶1時，再賽五局必分勝負，后五局所有情況共有32種，其中甲勝的情況有16種，乙勝的情況有16種，故獎金應該按1∶1分配.

當比分為1∶2時，再賽四局必分勝負，窮舉后四局的所有情況：1111，1110，1101，1011，0111，1100，1010，1001，0110，0101，0011，1000，0100，0010，0001，0000，其中甲勝的情況有5種，乙勝的情況有11種，獎金按5∶11分配.

當比分為2∶2時，再賽三局必分勝負，窮舉后三局所有的情況：111，110，101，011，100，010，001，000，其中甲勝的情況有4種，乙勝的情況有4種，故獎金應按1∶1分配.

當比分為2∶3時，再賽兩局必分勝負，窮舉后兩局所有情況：11，10，01，00，其中甲勝有1種情況，乙勝有3種情況，所以獎金應按1∶3比例分配.

當比分為1∶3時，獎金按1∶7分配；比分為3∶3時，獎金按1∶1分配.

以甲領先為例，將上述情況做成表格如下：

由以上表格中的數據可以發現，從左到右看，不管哪一種賽制，領先者所得獎金的比重在逐漸增加（或者說雙方所得獎金差距在加大）；從上向下看，當比分確定時，領先者所得獎金的比重在逐漸減少（或者說雙方所得獎金差距在縮小）.注：當比分持平時，以上規律例外.

綜合以上兩個方面的因素，可以得出這樣的結論：在正常狀態下，當雙方實力差距很大時，如果賽制已定，弱者偏向于在先勝一局時退賽分獎金，否則，他會偏向于在戰平時退賽分獎金；如果賽制未定，他更偏向于選擇3局2勝制，在先勝一局時退賽分獎金，否則，他會偏向于在比分持平時退賽分獎金.