導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用

劉義才

摘要： 導(dǎo)數(shù)的廣泛應(yīng)用，為我們解決函數(shù)問題提供了有力的工具，用導(dǎo)數(shù)可以解決函數(shù)中的最值問題，不等式問題，還可以與解析幾何相聯(lián)系，在知識的網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計問題.因此，在教學(xué)中，要突出導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞： 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用函數(shù)

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容，它的引入為解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題提供了新的視野，不論是研究函數(shù)的性質(zhì)，還是解決不等式的問題和方程根的問題，也不論是探求函數(shù)的極值、最值，還是解決曲線的切線問題，導(dǎo)數(shù)都發(fā)揮著非常重要的作用，在近幾年的高考中，對導(dǎo)數(shù)的考查在逐步加強.一般的高考對導(dǎo)數(shù)的考查形式多樣，難易均有，可以在填空題中出現(xiàn)，也更容易在解答題中出現(xiàn)，有時候作為壓軸題，主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.我擬就導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，談?wù)剛€人的感悟和體會.

1.求曲線y=f（x）在點（x■，y■）處的切線的斜率，運用導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)，其幾何意義是曲線在該點處切線的斜率，利用導(dǎo)數(shù)可以十分便捷地分析處理解析幾何中的有關(guān)切線問題.

（2010湖北文）設(shè)函數(shù)f（x）=x■+2ax■+bx+a，g（x）=x■-3x+2，其中x∈R，a、b為常數(shù)，已知曲線y=f（x）與y=g（x）在點（2，0）處有相同的切線l.求a、b的值，并寫出切線l的方程.

【解析】f′（x）=3x■+4ax+b，g′（x）=2x-3，由于曲線y=f（x）與y=g（x）在點（2，0）處有相同的切線，故有f（2）=g（2）=0，f′（2）=g′（2）=1，由此解得：a=-2，b=5，切線l的方程：x-y-2=0.

2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極（最）值.

解答這類問題的方法是：①根據(jù)求導(dǎo)法則求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；②令導(dǎo)數(shù)等于0，解出導(dǎo)函數(shù)的零點；③分區(qū)間討論，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；④判斷極值點，求出極值；⑤求出區(qū)間端點值與極值進行比較，求出最值.

（2010江西理）設(shè)f（x）=-■x■+■x■+2ax.當(dāng)0＜a＜2時，f（x）在［1，4］上的最小值為-■，求f（x）在該區(qū)間上的最大值.

【解析】f′（x）=-x■+x+2a=-（x-■）■+■+2a，

令f′（x）=0，得兩根x■=■，x■=■.

所以f（x）在（-∞，x■），（x■，+∞）上單調(diào)遞減，在（x■，x■）上單調(diào)遞增.

當(dāng)0＜a＜2時，有x■＜1＜x■＜4，所以f（x）在［1，4］上的最大值為f（x■）.

又f（4）-f（1）=-■+6a＜0，即f（4）＜f（1），

所以f（x）在［1，4］上的最小值為f（4）=8a-■=-■，得a=1，x■=2，

從而f（x）在［1，4］上的最大值為f（2）=■.

3.以導(dǎo)數(shù)知識為工具研究函數(shù)單調(diào)性，對函數(shù)單調(diào)性的研究，導(dǎo)數(shù)作為強有力的工具提供了簡單、程序化的方法，具有普遍性的可操作方法.

（2010遼寧卷）已知函數(shù)f（x）=（a+1）lnx+ax■+1.討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性.

【解析】f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=■+2ax=■.

當(dāng)a≥0時，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；

當(dāng)a≤－1時，f′（x）＜0， 故f（x）在（0，+）單調(diào)遞減；

當(dāng)-1＜a＜0時，令f′（x）＝0，解得x=■.當(dāng)x∈（0，■ ）時，f′（x）＞0；

當(dāng)x∈（■ ，+∞）時，f′（x）＜0.故f（x）在（0，■）單調(diào)遞增，在（■，+∞）單調(diào)遞減.

4.證明不等式彰顯導(dǎo)數(shù)方法運用的靈活性.

把要證明的一元不等式通過構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為f（x）＞0（＜0），再通過求f（x）的最值，實現(xiàn)對不等式證明.導(dǎo)數(shù)為解決此類問題開辟了新的路子，使過去不等式的證明方法從特殊技巧變?yōu)橥ǚ?，彰顯導(dǎo)數(shù)方法運用的靈活性、普適性.

（2010全國卷2）設(shè)函數(shù)f（x）=1-e■，證明：當(dāng)x＞-1時，f（x）≥■.

【解析】當(dāng)x＞-1時，f（x）≥■，當(dāng)且僅當(dāng)e■≥1+x

令g（x）=e■-x-1，則g′（x）=e■-1.

當(dāng)x≥0時，g′（x）≥0，則g（x）在［0，+∞）是增函數(shù);

當(dāng)x≤0時，g′（x）≤0，則g（x）在（-∞，0］是減函數(shù),

于是g（x）在x=0處取得最小值，因而當(dāng)x∈R時，g（x）≥g（0），即e■≥1+x，所以當(dāng)x＞-1時，f（x）≥■.

總之，導(dǎo)數(shù)作為解決數(shù)學(xué)問題的有力工具，全面體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的價值，既給學(xué)生提供了一種新的方法，又給學(xué)生提供了一種重要的思想，在解決數(shù)學(xué)問題時使用非常方便，尤其是利用導(dǎo)數(shù)來解決函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值，以及切線問題.在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用過程中，要加強對基礎(chǔ)知識的理解，重視數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，達到優(yōu)化解題思維，簡化解題過程的目的.