GPS擬合高程替代水準分析

高冶

摘要：在介紹GPS水準原理的基礎上，論述了GPS測線高程擬合的兩種方法，即：三次樣條函數擬合及最小二乘曲線擬合，并根據實測資料應用這兩種方法分別進行了計算分析，結果表明最小二乘曲線和三次樣條曲線擬合方法轉換GPS高程的可行性和可靠性。

關鍵詞：GPS水準 GPS測線 三次樣條函數 最小二乘曲線擬合

中圖分類號：P2 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2012）10（b）-0024-02

GPS測量技術的出現引起了測繪界一次新技術的革命，由于GPS測量具有高精度、全球性、全天候等特點，因此已被廣泛應用到國民經濟建設的各個領域。GPS的平面定位精度目前已達到毫米級，可以滿足工程建設中對平面位置的精度要求；GPS的高程精度對于20km以內的短基線向量，其高程分量的精度亦可以達到毫米級，但GPS測高數據卻沒有像GPS平面成果那樣被廣泛應用，這主要是因為GPS測量系統的測高數據為相對于橢球表面的大地高，而在工程測量中，地面點的高程通常采取的是相對于似大地水準面的正常高或者是相對于大地水準面的正高，所以GPS高程只有經過高精度的高程異常改正才能應用于工程測量中。

1 GPS水準的原理

1.1高程系統

（1）通過參考橢球面為基準面的高程系統的為大地高。橢球面為基準面的大地高就是通過地面抹點的大地高（H）給定義為由地面點沿著改點通過的橢球法線到橢球面的距離。（2）通過大地水準面為基準面的高程系統的為正高。地面某點的正高（Hg）定義為由地面沿鉛垂線至大地水準面的距離。

大地水準面至橢球面的距離為大地水準面差距（N）：

（1）

（3）正常高是以似大地水準面為基準面的高程系統。地面某點的正常高（Hr）定義為由地面點至似大地水準面的距離。

似大地水準面與橢球面之間的差距稱為高程異常（）：

（2）

三個高程系統的關系如圖1所示。

1.2GPS水準的基本原理

實際應用中的地面點高程是以似大地水準面為起算面的正常高，而GPS高程是以WGS-84橢球面為基準的大地高。由前所述已知兩者之間相差為高程異常，如（2）式。顯然，如果知道了各GPS點的高程異常，則可由各GPS點的大地高按（2）式反求得各點的正常高。

GPS水準就是在已獲得大地高的GPS點上同時施測少量的幾何水準點（稱這些點為已知點），按（2）式求出已知點的高程異常值，再根據已知點的平面坐標和所求出的高程異常值，采用數學擬合計算的方法，擬合出測區內的似大地水準面，從而據此解算出其它GPS點（稱這些點為待定點）的高程異常值，最后按（2）式反求出待定點的正常高。對于線性帶狀工程，各GPS高程點的位置往往近似處于一條直線上，當各點位于同一直線上時，不能建立平面、曲面等面狀擬合模型，而當近似于直線時，其面狀擬合模型具有較大的不穩定性，即當某點位置或高程有一些微小的變化時，擬合的結果極不穩定。線性模型只顧及了縱向高程異常的變化而沒有考慮橫向的變化，對帶狀區域其擬合高程比面狀模型穩定，適用于線性帶狀工程的GPS高程擬合。

針對線性帶狀工程的特點，我們采用解析內插法來進行GPS高程的轉換。本文主要論述多項式曲線擬合法和三次樣條曲線擬合法。多項式曲線擬合法是用多項式曲線（最小二乘曲線）來擬合線性帶狀區域的高程異常模型，并根據最小二乘原理來解算最優解的轉換GPS高程方法。三次樣條曲線的樣條函數是一種連續和平滑的組合函數，由三次多項式構成，用來對高程異常值進行擬合。下面主要討論用解析內插法進行線性帶狀區域的GPS高程轉換的基本原理和方法。

2 GPS測線高程擬合的方法

2.1三次樣條函數：

計算時，邊界條件取自然邊界條件，即y0″=yn″=0

2.2最小二乘曲線擬合

多項式曲線逼近（曲線擬合的最小二乘法）的一般原理是：設測點的和（或擬合坐標）存在如下函數關系：

（3）

根據最小二乘原理，使節點處的殘差平方和為最小的條件下解出式（3）中的各系數，即可按式（3）求出測線方向（或方向線左右）任一點的高程異程值。

基本算法如下：

設已知n個數據點，建立（m-1）次最小二乘擬合多項式：

其中≤且≤10。

設擬合多項式為各正交多項式的線性組合：

其中可以用以下遞推公式來構造：

若設：

則：

可以證明，由上述遞推構造的多項式函數組

是互相正交的。根據最小二乘原理，可得

最后可以化成一般的m-1次多項式：

3 工程計算實例

測區內的GPS測線共有10個GPS點，平差后其平面點位誤差均值為1.55cm，且各點均實測四等水準。

在計算時，首先把GPS測線上的點旋轉，使GPS測線方向與y坐標軸大致相同，然后以測線兩端及中間的4個點為已知點，用各點的y坐標值代入三次樣條函數、最小二乘曲線擬合的計算公式進行計算，求出6個待定點的高程異常及殘差如表1所示。

從表中可看出，各點的擬合殘差均在5cm以內，而且兩種擬合方法的擬合中誤差，分別為2.92cm及3.02cm。

4 結語

由計算結果可知采用三次樣條函數和最小二乘曲線擬合求出的GPS測線的高程異常值均較小，可以滿足工程的實際需要。三次樣條函數的擬合結果僅略優于最小二乘曲線擬合的結果，但二者相差不多，這主要是因為測區的測線較短且高程異常值變化不大的緣故。然而當測線較長，已知點多，高程異常值變化大的時候，按最小二乘曲線擬合解求的系數誤差會增大，擬合的高程異常值的誤差有可能增大。如果進行整體擬合，精度較低，若分段擬合計算，則分段點上將不連續，也影響擬合精度，為此，采用三次樣條曲線擬合的結果將會優于最小二乘曲線擬合的結果。

參考文獻

[1] 陳俊勇.我國GPS水準網的布設及其精度的探討[J].測繪學報，1993，22（2）：1-4.

[2] 徐紹銓.擬合法求定GPS點的正常高[J].武測科技，1992（2）：12-18.