“大歐”O與“小歐”o的區別及其應用

嚴衛義 張秋靈

摘 要 本文用淺顯的知識解讀比較抽象的“大歐”O與“小歐”o的定義，并舉出“大歐”O與“小歐”o在數學上的應用。

關鍵詞 “大歐”O “小歐”o 無窮小量

中圖分類號：O174 文獻標識碼：A

The Difference between "O" and "o" and its Application

YAN Weiyi, ZHANG Qiuling

(He'nan Province Anyang Vocational and Technical College, Anyang, He'nan 455000)

Abstract This paper talks about the definition of abstract "O" and "o", and tells us the application of "O" and "o" in mathematics.

Key words "O"; "o"; infinitesimal

o是小寫英文字母o，讀作“小歐”，是表示無窮小量的程度的符號。O是大寫英文字母O，讀作“大歐”，是表示無限接近0的速度的符號。

在數學上，人們往往會忽視迅速變小的那一部分。這時的關鍵是小到什么程度，這個項才能被忽視。“大歐”O與“小歐”o就是用來表示這個程度的符號。

無窮小量是以0為極限的函數，而不同的無窮小量收斂于0的速度有快有慢。為此，我們考察兩個無窮小量的比，以便對它們的收斂速度作出判斷。

設當時，和均為無窮小量

1. 若 = 0，則稱當時，為的高階無窮小量，或稱為的低階無窮小量，記作

4. 與的一些應用

（I）現在，利用這些規則及一些熟知的等價關系能比較簡單地求一些比較復雜的極限：

于是我們的級數是常數項級數，其項與級數()的項等價。由于后者僅當 ＞時收斂，所以在所說的區域 ＞0中，原來的級數僅當 ＞時收斂。

（III）在微分和積分的定義上，使用它們會使定義更容易、更清晰。實際上，使用這個符號，可以用類似商和余數的關系來取代用除法的形式來表現微分。

函數 = 的微分是指的增量 →0時，存在的改變量與 的比的極限，得到

式中 =代替，那么=+ 這是一個不同除法的微分表達式。在進行理論性的討論過程中，這種商和余數的表現方法要比除法 = 來得簡便。

參考文獻

[1] 華東師范大學數學系.數學分析.上冊(第三版).北京教育出版社,2001:60-64.

[2] 陳紀修,於崇華,金路.數學分析（上）.北京教育出版社,2001:98-101.