非線性系統模型參數估計的算法模型

魏振方 齊名軍

摘要： 針對非線性系統模型的多樣性，提出了適用于多種非線性模型的基于粒子群優化算法的參數估計方法。 計算結果表明，粒子群優化算法是非線性系統模型參數估計的有效工具。

關鍵詞： 粒子群優化算法； 非線性系統； 參數估計； 優化

中國分類號：TP301.6文獻標志碼：A 文章編號：1006-8228（2012）04-34-02

An algorithm of parameter estimation of nonlinear system model

Wei Zhengfang, Qi Mingjun

（Hebi Occupation Technology College， Hebi， Henan 458030， China）

Abstract： Aiming at the diversity of nonlinear system model, it is proposed in this article a parameter estimation method based on particle group optimization algorithm that is applicable to a variety of nonlinear models. The result shows that the particle group optimization algorithm for parameter estimation of nonlinear system model is an effective tool.

Key words： particle group optimization algorithm； nonlinear system； parameter estimation； optimization

0 引言

非線性系統廣泛地存在于人們的生產生活中，但是，目前我們對非線性系統的認識還不夠深入，不能像線性系統那樣，把所涉及的模型全部規范化，從而使辯識方法也規范化。非線性模型的表達方式相對比較復雜，目前還很少有人研究各種表達方式是否存在等效關系，因此，暫時還沒有找到對所有非線性模型都適用的參數模型估計方法[1]。如果能找到一種不依賴于非線性模型的表達方式的參數估計方法，那么，也就找到了對一般非線性模型系統進行參數估計的方法[2]。

粒子群優化算法[3](Particle Swarm Optimaziton，簡稱PSO)是由Kennedy博士和Eberhart博士于1995年提出的一種基于群體智能的優化算法，它源于對鳥群群體運動行為的研究，即粒子群優化算法模擬鳥群的捕食行為。設想這樣一個場景：一群鳥在隨機搜索食物，在這個區域里只有一塊食物，所有的鳥都不知道食物在那里，但是他們知道當前的位置離食物還有多遠，那么找到食物的最優策略是什么呢？最簡單有效的方法就是搜尋目前離食物最近的鳥的周圍區域。粒子群優化算法從這種模型中得到啟示并用于解決一些優化問題。粒子群優化算法中，每個優化問題的解都是搜索空間中的一只鳥，我們稱之為“粒子”。所有的粒子都有一個由被優化的函數決定的適應值(fitness value)，每個粒子還有一個速度決定他們飛翔的方向和距離。然后粒子們就追隨當前的最優粒子在解空間中搜索。粒子群優化算法將粒子解初始化為一群隨機粒子(隨機解)，然后通過迭代找到最優解。在每一次迭代中，粒子通過跟蹤兩個"極值"來更新自己，第一個就是粒子本身所找到的最優解，這個解叫做個體極值pBest，另一個極值是整個種群目前找到的最優解，這個極值是全局極值gBest。另外也可以不用整個種群而只是用其中一部分作為粒子的鄰居，那么在所有鄰居中的極值就是局部極值。其基本思想[4]是模擬自然界生物的群體行為來構造解的隨機優化算法，即從一組初始解群開始迭代，逐步淘汰較差的解，產生更好的解，直到滿足某種收斂指標，即得到了問題的最優解。假設在一個n維的目標搜索空間中，有m個粒子組成一個群落，其中第i個粒子在n維搜索空間中的位置表示為一個n維向量，每個粒子的位置代表一個潛在的解。設為粒子i的當前位置；為粒子i當前飛行的速度；為粒子i所經歷的最好位置，也就是粒子i所經歷過的具有最好適應值的位置，稱為個體最優位置；為整個粒子群直至當前時刻搜索到的最優位置，稱為全局最優位置。將帶入目標函數計算出其適應值，根據適應值的大小可以衡量的優劣。每個粒子的位置和速度按下文中式⑶和⑷兩個公式迭代求得。用j?表示粒子的第j維(j=1，2，…，n)，i表示第i個粒子(i=1,2，…，m)，t表示第t代，c1、c2為加速度常數，通常在0～2間取值，c1調節粒子向自身最優位置飛行的步長，c2調節粒子向全局最優位置飛行的步長。，為兩個相互獨立的隨機函數。為了減小在進化過程中粒子離開搜索空間的可能性，vij通常限定于一定范圍內，即。如果問題的搜索空間限定在內，則可設定。迭代中若粒子的位置和速度超出了限定范圍，則取邊界值。代表第i個粒子在t時刻位置到直至t時刻搜索到的最優位置的距離，代表第i個粒子在t時刻位置到整個粒子群直至t時刻搜索到的最優位置的距離。公式⑵用于計算粒子的速度，如當前是t時刻，則粒子在t+1時刻速度是由當前時刻的速度、當前位置與該粒子的局部最優位置的距離、當前位置與全局最優位置的距離共同決定的；公式⑶用于計算粒子速度更新后的位置，它由粒子當前位置和粒子更新后的速度決定。所有粒子的初始位置和速度隨機產生，然后根據上述兩個公式進行迭代，不斷變化它們的速度和位置，直到找到滿意解或達到最大的迭代次數為止(粒子的位置即是要尋找的解)。因此，粒子群優化算法具有多點尋優、并行處理等特點。而且粒子群優化算法的搜索過程是從初始解群開始，以模型對應的適應函數作為尋優判據，從而直接對解群進行操作，而與模型的具體表達方式無關。這就決定了粒子群優化算法可適用于一般非線性系統模型的參數估計。

1 基于粒子群優化算法的非線性系統模型參數估計方法

1.1 問題的提出

一般非線性系統模型可用式⑴表示。

⑴

式中，y(t)為系統輸出向量；u(t')為系統輸入向量，0≤t'≤t；，θ為待定參數向量。f的形式已知，且u(t')已知。現已知y(t)的一組實際測量的離散數據y0(t)，t=1,2，…，n。要求根據已知的y0(t)的值估計出θ的值。

為了能夠進行辯識，式⑴所代表的非線性系統模型還必須滿足以下假設：①y必須可測；② 每個參數必須與輸出y有關，即參數可估計；③系統的信噪比足夠大，以至噪聲可忽略不計；④ 只要參數確定，通過系統仿真可得到確定的輸出值；⑤系統在有限時間t內不發散，即y值不趨于無窮大。

1.2 基于粒子群優化算法的參數估計方法

本文用一種改進粒子群優化算法自動尋找θ。具體步驟如下。

⑴確定適應函數：在已知各參數值的基礎上，基于式⑴，可通過仿真實驗求得各個時間的系統輸出數值y(t)。辨識的目的是要使求得的系統輸出數值y(t)盡量接近已知的系統輸出數值，越接近說明仿真的效果越好，也就證明仿真所用的一組參數更接近實際參數值，因此應使這組參數對應的粒子群個體具有更小的適應值。所以，我們取y(t)曲線與y0(t)曲線之間距離的為適應值，

即：⑵

⑵隨機產生n個θ。

⑶計算適應值fi，再根據式⑵中確定的適應函數計算出各個θ對應的適應值fi。

⑷計算每個粒子的適應值。

⑸對于每個粒子，將其適應值與所經歷過的最優位置的適應值進行比較，若較好，則將其作為當前的最優位置。

⑹對于每個粒子，將其適應值與全局所經歷的最優位置的適應值進行比較，若較好，則將其作為當前的全局最優位置。

⑺根據下面2個公式對粒子的速度和位置進行更新；

⑶

⑷⑻如未達到結束條件（通常為足夠好的適應值）或達到一個預設最大代數Gmax，則返回步驟2 直至算法收斂，即所有個體基本相同，適應值很難進一步提高為止。

2 仿真研究

為了體現粒子群算法能適用于多種非線性系統模型的優點，我們分別以非線性系統的傳遞函數模型[5]，非線性系統的狀態空間模型及在非線性系統研究中應用較為廣泛的Hammerstein 模型[6]為例進行仿真研究。

傳遞函數模型的形式如下：

可以看出，這是一個慣性環節加純時滯模型，待估計的參數是比例系數K，慣性系數T 和時滯系數τ。在仿真實驗中， 參數設置如下：學習因子c1=1.5，c2=2.5，慣性權重,T為最大代數,t為當前進化代數，在這里w將隨著迭代次數的增加而逐漸減小，當w小于0.4時，將令w=0.4，即不再減小，以保證迭代后期粒子能夠在一定空間探索更好的解。它們的群體規模是100，其他參數不變。在搜索過程中，以100代為上限(實際上，迭代50～80次即可得到滿意結果)。仿真結果如表1所示。

表1例1 參數估計結果

[[&K&T&τ&真實值&10&5&9&估計值&10&511&9&]]

在例1的仿真實驗中，因為模型結構簡單，待定參數較少，應用粒子群算法搜索較為容易，所以為了提高運算速度，參數精度定得較底，僅為小數點后一位，但從搜索結果來看，參數估計是令人滿意的。實驗說明了以下幾點：①用粒子群優化算法進行參數估計是有效的；②在模型較簡單，需要估計的參數較少時，用粒子群優化算法進行參數估計可達到比較滿意的精度。

3 結束語

本文在利用粒子群優化算法對非線性系統模型參數估計方面作了一些嘗試，得到了比較滿意的結果。仿真實驗結果表明，粒子群優化算法切實可行，對非線性系統模型參數估計具有一定的實際價值和理論意義。

參考文獻：

[1] 徐南榮,宋文忠, 夏安邦. 系統辨識[M].1991.

[2] Goldberg D E Genetic Algorithms In Search ,Optimization [M] and Machine Learning[M] . Reading ,MA :Addison2Wesley,1989.

[3] Kennedy J, Eberhart R C.Particle swarm optimization[C].In: IEEE

International Conference on Neural Networks.Perth, Piscataway, NJ, Australia:IEEE Service Center, 1995; IV: 1942～1948

[4] 張鴻賓,郭建軍, 遺傳算法在曲線多邊形近似中的應用[J].計算機學報,1999.10:1100~1104

[5] 方菲等.基于測試執行的失效數據建模研究[J].軟件學報,1999.12:1233~1237

[6] 鄭人杰.計算機軟件測試技術[M].清華大學出版社,1992.