運動的合成與分解在解題中的應用

周力偉

所謂運動的合成與分解，就是速度、加速度、位移的合成和分解，同樣遵循平行四邊形定則. 在具體的應用過程中同學們容易把合運動和分運動混淆，不能正確判別它們之間的關系. 現通過“牽連”模型加以說明其原理.

■ 一、 基本模型

■ 模型一如圖1所示，小車以恒定的速度v水平向左做勻速直線運動，通過輕繩牽引小船向左運動，當船運動至繩與水平方向的夾角為θ時，船的速度的大小為多少（結果用v和θ表示）？

■ 解析小船從位置1到位置2的過程中，沿繩方向的速度大小就是小車水平向左運動的速度大小. 同時，繩與水平方向的夾角θ在增大，相當于繩端點O沿逆時針與繩垂直的方向擺動. 實際上船的速度應該是沿繩方向的速度和逆時針擺動速度的合速度見圖2. 則有v船=■=■.

■ 模型二如圖3所示，小車以速度v水平向左勻速行駛，當小車運動至圖示位置時，輕繩與水平方向的夾角為θ，此時物體M上升速度大小是多少.

■ 分析小車由位置1到位置2的過程中，繩的端點O相對定滑輪被拉長，同時輕繩與水平方向的夾角θ在減小，相當于繩的端點O逆時針與繩垂直方向在擺動，沿繩方向的速度大小就是物體M上升速度的大小. 見圖4. 則有vM=v繩=vcos θ.

■ 二、 例題解析

■ 例1如圖5所示，輕且不可伸長的細繩懸掛質量為m1=0.5 kg的小圓球，圓球又套在可沿水平方向移動的框架槽內，框架槽沿豎直方向，質量m2=0.2 kg，自細繩靜止與豎直位置開始框架槽在水平恒力F=20 N的作用下，移到圖中所示的位置，此時細繩與豎直方向的夾角為30°，繩長L=0.2 m，不計一切摩擦，取g=10 m/s2，求：

（1） 此過程中小圓球克服重力所做的功；

（2） 外力F所做的功；

（3） 小圓球在此位置的瞬時速度v的大小.

■ 解析（1） 小球克服重力所做的功等于小球重力勢能的增加，以小球為研究對象

WG=m1gL（1-cos30°）

=0.5×10×0.2×（1-■） J=0.135 J

（2） 根據功的定義式：

WF=F×Lsin30°=20×0.2×■ J=2 J

（3） 整體討論，由動能定理

WF -W′G=■m1v21+■m2v22①

小球的實際速度是豎直方向的速度與水平方向速度的合速度.

v2=v1cos30°②

由①②解得：

v1=■=2.52 m/s.

■ 例2在豎直平面內有一個半徑為R的半圓形的截面，用輕質的不可伸長的細線連接的A、B兩球，懸掛在圓截面的邊緣側，如圖6所示，A球質量是B球質量的2倍，現將A球從邊緣處由靜止釋放，已知A球始終不離開球面，且細繩足夠長，整個半圓形截面固定，若不計一切阻力，求：

（1） A球沿圓滑至最低點時的速度的大小；

（2） A球沿圓面運動的最大位移是多少.

■ 解析（1） A從開始運動到最低點過程中，A、B系統機械能守恒，有

2mgR-mg·■=■×2mv21+■mv22①

A在最低點時速度方向水平向左，是沿繩方向的速度與垂直繩方向速度的合速度，見圖7.

v2=v1sin45°=■v1②

由①②解得：v1=2■

（2） 當A球的速度為零時，A球沿圓面運動的位移最大設為s，A物體下降的高度為h，見圖8. AB系統機械能守恒

2mgh-mgs=0，

則s=■R.

■ 例3一根長為L的細繩固定在O點，O點離地面的高度大于L，另一端系質量為m小球，開始時繩與水平方向的夾角為30°，如圖9所示，求小球由靜止釋放后運動到最低點C時速度的大小.

■ 解析A位置運動至B位置過程中，小球的機械能守恒，有

mgL=■mv2①

小球在B點繩被繃緊的瞬間沿繩方向的速度v2變為零，切向速度

v1=vcos30°②

B至C的過程中做圓周運動機械能守恒

mgL（1-cos30°）+■mv21=■mv2c③

由①②③可得：vc=■