用機(jī)械能守恒定律求解連接體問(wèn)題

丁玉莉

機(jī)械能守恒定律的內(nèi)容是“在只有重力、彈力做功的情形下，物體的動(dòng)能和勢(shì)能發(fā)生相互轉(zhuǎn)化，但機(jī)械能的總量保持不變. ”在用機(jī)械能守恒定律解連接體問(wèn)題時(shí)，一定要注研究對(duì)象的選取，中間過(guò)程的分析以及能量轉(zhuǎn)化的過(guò)程，這樣才能正確應(yīng)用機(jī)械能守恒定律解決問(wèn)題.

■ 一、 機(jī)械能守恒定律應(yīng)用中研究對(duì)象系統(tǒng)的選取

機(jī)械能守恒定律的研究對(duì)象必須是一個(gè)系統(tǒng). 應(yīng)用機(jī)械能守恒定律必須準(zhǔn)確的選擇系統(tǒng). 系統(tǒng)選擇得當(dāng)，機(jī)械能守恒；系統(tǒng)選擇不得當(dāng)，機(jī)械能不守恒. 對(duì)機(jī)械能不守恒的系統(tǒng)應(yīng)用機(jī)械能守恒定律必然得出錯(cuò)誤的結(jié)果.

■ 例1如圖1所示，長(zhǎng)為2 L的輕桿OB，O端裝有轉(zhuǎn)軸，B端固定一個(gè)質(zhì)量為m的小球B，OB中點(diǎn)A固定一個(gè)質(zhì)量為m的小球A，若OB桿從水平位置靜止開(kāi)始釋放轉(zhuǎn)到豎直位置的過(guò)程中，求：

（1） A、B球擺到最低點(diǎn)的速度大小各是多少？

（2） 輕桿對(duì)A、B球各做功多少？

（3） 輕桿對(duì)A、B球所做的總功為多少？

■ 解析有學(xué)生分別選A、B球及地球?yàn)橐幌到y(tǒng)，有機(jī)械能守恒定律得到：

mgl=■mv2A，mg2l=■mv2B

由上兩式得：vA=■，vB=■

上述解法其實(shí)是不對(duì)的，錯(cuò)在何處呢？是系統(tǒng)選擇錯(cuò)誤. 事實(shí)上，小球A（或B）與地球單獨(dú)組成的系統(tǒng)機(jī)械能并不守恒，這是因?yàn)檩p桿往下擺的過(guò)程中，輕桿分別對(duì)A、B兩球做了功（注意輕桿可以產(chǎn)生切向力，不象輕繩，只能產(chǎn)生法向力）. 對(duì)機(jī)械能不守恒的系統(tǒng)應(yīng)用守恒定律求解，當(dāng)然出錯(cuò). 那么，應(yīng)該選擇什么系統(tǒng)呢？應(yīng)選A、B球及地球所組成的系統(tǒng)，機(jī)械能是守恒的.

（1） 選A、B及地球?yàn)檠芯肯到y(tǒng)，此系統(tǒng)中只有動(dòng)能和重力勢(shì)能發(fā)生轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有：■mv′2A+■mv′2B=mgl+mg2lvB=2vA

由上面兩式可得：

v′A=■，v′B=■

（2） 由（1）不難得到：v′AvB

即A、B間的輕桿對(duì)B球做正功，對(duì)A球做負(fù)功.

輕桿對(duì)A球做功為：

WA=■mv′2A-■mv2A=-0.4mgl

同理可得，輕桿對(duì)B球做功為：WB=0.4mgl

（3） 輕桿對(duì)A、B所做總功為0.

■ 分析從（2）不難看出輕桿對(duì)小球B做了正功，對(duì)A球做了負(fù)功. 從（3）可得到，A、B兩球及輕桿這一系統(tǒng)，并沒(méi)有機(jī)械能與其他形式能量的轉(zhuǎn)化，故機(jī)械能守恒. A、B間輕桿的作用之一是實(shí)現(xiàn)了A球與B球之間機(jī)械能的傳遞.

■ 二、 機(jī)械能守恒定律應(yīng)用中物理過(guò)程的選取

機(jī)械能守恒定律也是一條過(guò)程規(guī)律，在使用時(shí)必須選取具體的物理過(guò)程，確定初、末狀態(tài). 選取物理過(guò)程必須遵循兩個(gè)基本原則，一要符合求解要求，二要盡量使求解過(guò)程簡(jiǎn)化. 可選全過(guò)程，有時(shí)則必須將全過(guò)程分解成幾個(gè)階段，然后再分別應(yīng)用機(jī)械能守恒定律求解.

■ 例2如圖2所示，質(zhì)量均為m的小球A、B、C，用兩條長(zhǎng)均為L(zhǎng)的細(xì)線相連，置于高為h的光滑水平桌面上. L>h，A球剛跨過(guò)桌面. 若A球、B球下落著地后均不再反彈，則C球離開(kāi)桌邊緣時(shí)的速度大小是多少？

■ 解析本題描述的物理過(guò)程是：A球下落帶動(dòng)B、C球運(yùn)動(dòng). A球著地前瞬間，A、B、C三球速率相等，且B、C球均在桌面上. 因A球著地后不反彈，故A、B兩球間線松弛，B球繼續(xù)運(yùn)動(dòng)并下落，帶動(dòng)小球C，在B球著地前瞬間，B、C兩球速率相等. 故本題的物理過(guò)程應(yīng)劃分為兩個(gè)階段：從A球開(kāi)始下落到A球著地瞬間；第二個(gè)階段，從A球著地后到B球著地瞬間.

在第一個(gè)階段，選三個(gè)球及地球?yàn)橄到y(tǒng)，機(jī)械能守恒，則有：mgh=■（3m）v21

第二個(gè)階段，選B、C兩球及地球?yàn)橄到y(tǒng)，機(jī)械能守恒，則有：

mgh=■（2m）v22-■（2m）v21

由上面兩式求解得：v2=■

在A球撞地后受到?jīng)_擊力，將A球速度瞬間減為0，之后就需要換取研究對(duì)象和過(guò)程，才能正確求解.

■ 三、 利用機(jī)械能守恒定律的另一表達(dá)式ΔEk+ΔEp=0解題

在運(yùn)用機(jī)械能守恒定律Ek1+Ep1=Ek2+Ep2時(shí)，必須選取零勢(shì)能參考面，而且在同一問(wèn)題中必須選取同一零勢(shì)能參考面. 但在某些機(jī)械能守恒的問(wèn)題中，運(yùn)用Ek1+Ep1=Ek2+Ep2求解不太方便，而運(yùn)用ΔEK+ΔEP=0較為簡(jiǎn)單. 運(yùn)用ΔEK+ΔEP=0的一個(gè)最大優(yōu)點(diǎn)是不必選取零勢(shì)能參考面，只要弄清楚過(guò)程中物體重力勢(shì)能的變化即可.

■ 例3如圖3所示，一固定的斜面，θ=30°，另一邊與地面垂直，頂上有一定滑輪，一軟弱的細(xì)線跨過(guò)定滑輪，兩邊分別與A、B連接，A的質(zhì)量為4m，B的質(zhì)量為m，開(kāi)始時(shí)將B按在地面上不動(dòng)，然后放開(kāi)手，讓A沿斜面下滑而B(niǎo)上升，物塊A與斜面間無(wú)摩擦，設(shè)當(dāng)A沿斜面下滑s距離后，細(xì)線突然斷了，求物塊B上升的最大距離H.

■ 解析取A、B及地球?yàn)橄到y(tǒng)：

ΔEK=-ΔEP

■（4m+m）v2=4mg·s·sin30°-mgs①

對(duì)B：0-v2=2（-g）h②

H=s+h③

由①②③得：H=1.2s

物體系內(nèi)“只有重力或彈簧的彈力做功”是機(jī)械能守恒的條件. 但由于做功的過(guò)程最終實(shí)現(xiàn)能量的轉(zhuǎn)化，所以在實(shí)際應(yīng)用時(shí)可從能量轉(zhuǎn)化的角度去理解，即只有物體的動(dòng)能、系統(tǒng)的重力勢(shì)能和彈簧的彈性勢(shì)能之間發(fā)生相互轉(zhuǎn)化，則系統(tǒng)機(jī)械能總量保持不變.