功能關系中的連接體問題

邵偉紅

用一根輕繩或輕桿將兩個物體進行連接就組成了一個最簡單的連接體，連接體問題是高中物理學習的一個難點. 下面我們結合一些具體實例，對連接體問題的求解思路和方法進行分析.

■ 例1如圖1所示，滑塊A、B的質量均為m，A套在固定豎直桿上，A、B通過轉軸用長度為L的剛性輕桿連接，B放在水平面上并靠著豎直桿，A、B均靜止. 由于微小的擾動，B開始沿水平面向右運動. 不計一切摩擦，滑塊A、B可視為質點. 在A下滑的過程中，下列說法中正確的是（）

A. A、B組成的系統機械能守恒

B. A運動到最低點時的速度為■

C. 在A落地之前輕桿對B一直做正功

D. 當A的機械能最小時，B對水平面的壓力大小為2mg

■ 解析將A、B和剛性輕桿組成一個系統，由于不計一切摩擦，因此在A下滑的過程中，只有重力對系統做功，系統機械能守恒，選項A正確；當A落到最低點時，速度方向向下，沿桿方向速度分量為零，則B速度為零，由A、B組成的系統機械能守恒，可得mgL=■mv2，v=■，選項B正確；又因為B的初速度和末速度均為零，所以B的速度先增大后減小，說明輕桿對B先做正功后做負功，選項C錯誤；當A的機械能最小時，B的機械能最大，則B的動能最大，速度最大，加速度為零，B所受的重力和水平面對B的支持力構成一對平衡力，它們大小相等，由牛頓第三定律可得，B對水平面的壓力大小為mg，故選項D錯誤. 因此本題正確選項為AB.

■ 例2如圖2所示，將質量為2m的重物懸掛在輕繩（繩不可伸長）的一端，輕繩的另一端系一質量為m的有孔小球，小球穿在固定的光滑直桿上，小定滑輪與直桿的距離為d. 現將小球從與定滑輪等高的A處由靜止釋放，不計一切摩擦. 當小球沿直桿下滑距離也為d時（圖中B處），下列說法中正確的是（重力加速度為g）（）

A. 小球釋放后輕繩中的張力等于2mg

B. 小球到達B處時，重物上升的高度為（■-1）d

C. 小球在B處的速度與重物上升的速度大小之比為■

D. 小球減小的機械能等于重物增加的機械能

■ 解析小球釋放后重物將加速上升，繩中張力大于2mg，選項A錯誤；小球到達B處時，繩與桿間夾角為45°，重物上升的高度h=（■-1）d，選項B正確；對于“繩連接”問題，由于繩不可伸長，可將繩兩端物體的速度沿繩方向和垂直于繩方向進行分解，其中兩端物體沿繩方向的速度分量相等，因此在B處，小球沿繩方向的速度分量vcos45°和重物的速度u大小相等，即vcos45°=u，由此可得■=■，故選項C錯誤；由于不計一切摩擦，桿對小球的彈力不做功，所以小球和重物組成的系統機械能守恒，小球減小的機械能等于重物增加的機械能，選項D正確. 本題正確選項為BD.

■ 例題3如圖3所示，輕繩一端掛一質量m=1 kg的物體，另一端跨過定滑輪系在質量為M=2 kg的圓環上，圓環套在豎直固定的光滑細桿上，定滑輪和細桿相距l=0.4 m. 現將環拉至與定滑輪同一水平高度上由靜止釋放，且g=10 m/s2. 繩不可伸長. 求圓環下降h=0.3 m的過程中輕繩對物體m所做的功. （結果保留兩位小數）

■ 解析在圓環下降的過程中，物體上升，由于繩對物體的拉力為變力，不能用功的計算式W=Fs計算繩對物體所做的功. 本題選用動能定理進行求解. 圓環下降h=0.3 m的過程中，物體上升高度為h′=■-l=0.1 m，先將圓環和物體作為系統，可得Mgh-mgh′=■Mv2+■mu2，由于繩不可伸長，將圓環的速度v沿繩方向和垂直于繩方向進行分解，其中沿繩方向的速度分量與物體的速度大小相等. 設此時繩與桿間的夾角為θ，則cos θ=■=0.6，由此可得，vcos θ=u，解得u=■ m/s；再對物體運用動能定理，可得W-mgh′=■mu2，將u=■ m/s代入，求得W=■ J≈1.76J.

■ 例4如圖4所示，一輕繩繞過無摩擦的輕質小定滑輪O與質量為5m的砝碼相連，另一端與套在一根固定的光滑的豎直桿上質量為m的圓環相連，直桿上有A、C、B三點，且C為AB的中點，AO與豎直桿的夾角θ=53°，C點與滑輪O在同一水平高度，滑輪與豎直桿相距為L，重力加速度為g，設直桿足夠長，圓環和砝碼在運動過程中不會與其他物體相碰. 現將圓環由A點靜止釋放（已知sin53°=0.8，cos53°=0.6），試求：

（1） 砝碼下降到最低點時，砝碼和圓環的速度大小；

（2） 圓環能下滑的最大距離；

（3） 圓環下滑到B點時的速度大小.

■ 解析（1） 砝碼下降到最低點時，速度v1=0，此時圓環運動到C點，下降高度為hAC=■=■L，砝碼下降高度為Δh=■-L=■L，將圓環和砝碼作為一個系統，設圓環此時的速度為v2，由于摩擦不計，運用機械能守恒，可得mghAC+5mgΔh=■mv22，解之得v2=2■；

（2） 設圓環能下滑的最大距離為H，則當圓環下滑到最低點時，圓環和砝碼的速度均為零，砝碼上升的高度為

ΔH=■-■

=■-■，

由系統機械能守恒可知，圓環重力勢能的減少量等于砝碼重力勢能的增加量，即mgH=5mgΔH，解得圓環能下降的最大高度為H=■L；

（3） 當圓環運動到B點時，下降的高度為hAB=2×■=■，由對稱性可知，砝碼回到原位置，設此時圓環的速度為v3，砝碼的速度為v4，可得mghAB=■mv23+■×5mv24；由于繩不可伸長，將圓環的速度沿繩方向和垂直于繩方向進行分解，其中沿繩方向的速度分量和砝碼的速度大小相等，可得v3cos53°=v4，兩式聯立，解得圓環下滑到B點時的速度v3=■.

■ 例5如圖5所示，豎直平面內放一直角桿，桿的水平部分粗糙，豎直部分光滑，兩部分各套有質量分別為mA=2 kg和mB=1 kg的小球A和B，A球與水平桿間動摩擦因數μ=0.2，A、B間用不可伸長的輕繩相連，圖示位置處OA=1.5 m，OB=2 m，g=10 m/s2.

（1） 若用水平力F1沿桿向右拉A，使A由圖示位置向右極緩慢地移動0.5 m，則該過程中拉力F1做了多少功？

（2） 若用水平力F2沿桿向右拉A，使B由圖示位置以1 m/s的速度勻速上升，則B經過圖示位置上升0.5 m的過程中，拉力F2做了多少功？

■ 解析（1） A向右移動sA=0.5 m，B將上升hB=0.5 m，由題中A、B極緩慢移動，可忽略A、B速度變化，將A、B作為一個系統，運用動能定理，可得外力所做總功為零，即W1-μ（mA+mB）gsA-mBghB=0，解得W1=8 J；

（2） B上升hB=0.5 m，A將向右移動sA=0.5 m，由于繩不可伸長，將繩兩端小球A、B的速度沿繩和垂直于繩方向進行分解，其中沿繩方向的速度分量相等，運動開始時有：vA×■=vB×■，得vA=0.75 m/s，運動結束時有：vA′×■=vB×■，得vA′=■ m/s；做勻速運動，將A、B作為一個系統，運用動能定理，可得：W2-μ（mA+mB）gsA-mBghB=（■mAvA′2+■mBv2B）-（■mAv2A+■mBv2B），

解得W2≈6.8 J.

■ 總結對于用輕桿或輕繩兩端連接兩個物體組成的連接體問題，由于桿或繩不可伸長，因此將桿或繩兩端連接的物體的速度沿桿或繩方向和垂直于桿或繩方向分解后，沿桿或繩方向的速度分量相等，這是一個很重要的隱含條件，在求解連接體問題時是非常有用的.