萬有引力知識在高考中的應用

周孝明

隨著我國航天事業的快速發展，“神舟八號”和“天宮一號”的順利對接，探月計劃的順利實施、北斗衛星導航系統的建立，萬有引力與航天成為高考中的熱點. 縱觀2011年全國各省的物理高考試題，有關萬有引力與航天的知識點幾乎是必考的. 筆者認為只要能掌握以下兩種物理模型和兩種關系就能輕輕松松應對.

■ 模型一：橢圓軌道的天體運動

規律應用：開普勒三定律、萬有引力定律及牛頓第二定律的應用.

模型建立：設衛星繞地球做橢圓軌道運動，根據開普勒第二定律可得，衛星在近地點的速度最大，在遠地點的速度最小. 根據開普勒第三定律可得，所有繞著地球做橢圓軌道運動的衛星的軌道半長軸的三次方與周期的平方是一個常數即■=k. 由G■=ma可得a=G■，即離開地球越遠，衛星的加速度就越小.

■ 模型二：圓軌道的天體運動

規律應用：萬有引力定律和勻速圓周運動、動力學知識的應用.

模型建立：設衛星的質量為m，繞著地球做勻速圓周運動，地球的質量為M，衛星和地球之間的距離為r. 以衛星為研究對象，設衛星的線速度為v，角速度為ω，周期為T，因衛星只受到地球的萬有引力作用，結合勻速圓周運動的動力學方程可得：

G■=m■①

G■=mω2r②

G■=m（■）2r③

由①可得v=■，衛星離地球越遠線速度越小.

由②可得ω=■，衛星離地球越遠角速度越小.

由③可得T=2π■，衛星離地球越遠周期越大，由③也可得M=■，這也是常常求中心天體質量的方法.

■ 說明以上兩種典型模型中的物體雖然是衛星和地球，但在實際處理問題時可以進行轉化，只要符合一個物體在萬有引力作用下繞著另一個物體做橢圓軌道或圓軌道運動即可.

■ 關系一：近似相等關系

規律：忽略地球的自轉，萬有引力近似等于重力.

設某天體的質量為M，半徑為R，天體表面附近的重力加速度為g，天體表面附近有一個質量為m的物體，忽略天體的自轉，物體所受的重力等于萬有引力，

mg=■④

由④可得g=■，此式在物理上常常被稱為黃金代換式，由④也可得M=■，此式也是求天體質量的一種方式.

■ 關系二：能量的關系

1. 衛星繞著地球做橢圓軌道運動：近地點速度最大，質量不變，因此動能最大；遠地點則動能最小. 因衛星在運動過程中只受萬有引力作用，衛星和地球構成的系統機械能保持不變.

2. 衛星繞著地球做圓軌道運動：離地球越遠，速度越小，如果質量不變，則動能越小；衛星要進入更高的軌道，需要助推器點火助推，因此機械能增加，同時克服萬有引力做功，引力勢能增加.

正確理解和掌握以上兩種模型和兩個關系，就能輕輕松松解決以萬有引力與航天為考點的高考試題，下面就以2011年高考部分試題為例加以分析說明.

■ 例1（江蘇卷）一行星繞恒星做圓周運動. 由天文觀測可得，其運行周期為T，速度為v. 引力常量為G，則（）

A. 恒星的質量為■

B. 行星的質量為■

C. 行星運動的軌道半徑為■

D. 行星運動的加速度為■

■ 解析當衛星在圓形軌道上做勻速圓周運動時，萬有引力充當向心力，即

G■=m■

G■=m（■）2r，

可得恒星的質量為■，行星運動的軌道半徑為■，A、C正確. 又因為a=■=vw，可求a=■，D正確.

■ 例2（全國卷）我國“嫦娥一號”探月衛星發射后，先在“24小時軌道”上繞地球運行（即繞地球一圈需要24小時）；然后，經過兩次變軌依次到達“48小時軌道”和“72小時軌道”；最后奔向月球. 如果按圓形軌道計算，并忽略衛星質量的變化，則在每次變軌完成后與變軌前相比（）

A. 衛星動能增大，引力勢能減小

B. 衛星動能增大，引力勢能增大

C. 衛星動能減小，引力勢能減小

D. 衛星動能減小，引力勢能增大

■ 解析當衛星在圓形軌道上做勻速圓周運動時，萬有引力充當向心力，即

G■=m（■）2r，得

T=2π■，周期越大，軌道半徑越大，因此衛星動能減小，引力勢能增大，D正確.

■ 例3（海南物理卷）2011年4月10日，我國成功發射第8顆北斗導航衛星. 建成以后北斗導航系統將包含多顆地球同步衛星，這有助于減少我國對GPS導航系統的依賴. GPS由運行周期為12小時的衛星群組成. 設北斗導航系統的同步衛星和GPS導航衛星的軌道半徑分別為R1和R2，向心加速度分別為a1和a2，則R1 ∶ R2=______，a1 ∶ a2=________. （可用根式表示）

■ 解析同步衛星周期為T1=24 h，由G■=m（■）2r可得■=■，代入數據得■=■，由G■=ma可得a=G■，代入數據得■=■=■.

以上三個例題用到了兩種模型和兩個關系中的部分，在2011年高考物理中，四川、山東、天津、廣東、重慶、北京都有萬有引力和航天知識點的考題，利用以上方法也可以輕松解決. 萬有引力和航天是當今世界的前沿科學與熱點，因此也成為高考的重點和熱點，相信這個熱點還是會持續下去.