豎直平面內圓周運動臨界問題的歸納及拓展

張月紅

豎直平面內的圓周運動，常見的有這樣四種類型：①細繩拉著小球在豎直平面內的圓周運動；②小球在豎直放置的光滑圓環內側做圓周運動；③小球固定輕桿上在豎直平面內做圓周運動；④小球在豎直放置的光滑細管中做圓周運動.

■ 1. 知識梳理

這四種類型歸納起來可以分成兩大類，涉及到的問題通常是這樣兩類：①做完整圓周運動的條件；②在最高點處的臨界特征. 表1可以清楚地顯示出這兩大類問題.

■ 2. 知識辨析

（1） 恰能過最高點不等于速度恰為零

從表1中可以看出，③與④兩種情景下，恰能過最高點的速度為零；而①與②兩種情景下，恰能過最高點的速度為v=■.

（2） 恰能過最高點并不是小球與繩、桿或軌道間的相互作用力為零

（3） 不管是上述四種類型中的哪一種，若小球到達軌道最高點處，當其與繩子、桿或軌道間的相互作用力為零時，速度v=■.

■ 3. 知識拓展

在第③④兩種情景中，小球與軌道無相互作用的位置也可以在其它位置出現. 下面舉例說明.

■ 情景如圖1所示，豎直平面內有一個細圓管，它的軌道半徑為r，管的粗細可以忽略不計，一個質量為m的小球恰能在管道內無摩擦運動，若小球經過最高點時的速度為v0，小球經過某一位置時恰好和軌道無作用力. 試找出與軌道無作用力的位置.

■ 解析假設小球與圓心的連線與豎直方向的夾角為θ時，對軌道的壓力恰好為0，此時的速度大小為v，此時小球只受重力作用，將重力分解為徑向和切向，如圖2所示.

由牛頓第二定律可得：

mgcosθ=m■

小球從最高點到該位置過程中，由動能定理可得：mgr（1-cosθ）=■mv2-■mv20，聯立兩式可得：

v0=■.

要使上式有解，則3cosθ-2≥0，

得θ≤arccos■，0≤v0≤■.

也就是說，要使小球對內外軌道均無壓力，小球在最高點的速度必須滿足0≤v0≤■，對軌道無相互作用力的位置出現在與豎直方向的夾角為θ≤arccos■的范圍內.

討論：

① 若小球在最高點處時速度為零，則小球與軌道無壓力的位置出現在θ=arccos■，關于最高點對稱的兩個位置處.

② 若小球在最高點的速度為v0=■，則小球與軌道無壓力的位置在最高點處.

③ 若小球的速度介于0≤v0≤■的任一值時，都可找到與軌道無相互作用力的位置，并且在最高點速度越大，該位置越高.