對數與對數函數探析

梁雅峰

知識要點：

1. 對數的概念

（1）對數的定義。

如果ax=N（a＞0，a≠1），那么數x叫做以a為底N的對數，記作x=logaN，其中a叫做對數的底數，N叫做真數。

（2）幾種常見對數（見圖1）。

2. 對數的性質與運算法則

（1）對數的性質。

①負數和零沒有對數，即對數的真數N＞0，底數大于0且不等于1；

②1的對數為零，即loga1=0；

③底的對數等于1，即logaa=1；

④alogaN =N；

⑤ logaaN=N（a＞0，a≠1）。

（2）對數的重要公式。

①換底公式：logbN=（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1）。

②logb?logba=1，推廣log?logbc?logcd=logad。

（3）對數的運算法則。

如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么：

①loga（MN）=logaM+logaN；

② loga=logaM-logaN；

③logaMn=nlogaM（n∈R）；

④ logamMn =logaM。

常用結論：lg2+lg5=1，loga=-1，logaM=loganMn , loganM=logaM.

3. 對數函數的定義、對數函數的圖像與性質

（1）對數函數的定義。

一般地，函數y=logax（a＞0，a≠1，x＞0）叫做對數函數，其中x是自變量。

（2）對數函數的圖像與性質（見圖2）。

如何確定圖中（見圖3）各函數的底數a、b、c、d 與1的大小關系？

作一直線y=1，該直線與四個函數圖像交點的橫坐標即為它們相應的底數，∴0＜c＜d＜1＜a＜b。

4. 反函數

指數函數y=ax 與對數函數y=logax互為反函數，它們的圖像關于直線y=x對稱。

指數函數y=ax （a＞0，a≠1）的定義域為R，值域為(0，+∞），對數函數y=logax（a＞0，a≠1）的定義域為（0，+∞）， 值域為R。

題型一 對數的化簡與求值

例1 （1）化簡：（lg2）2+lg2?lg50+lg25； （2）化簡：23+ log 4； （3）已知loga2=m，loga3=n，求a2m+n的值。

分析：（1）、（2）為化簡題目，可由原式聯想指數與對數的運算法則、公式的結構形式來尋找解題思路；（3）可先求出2m+n的值，再用公式來求a2m+n的值。

解：（1）原式＝（lg2）2+（1+lg5）lg2+lg52=（lg2+lg5+1）lg2+2lg5=（1+1）lg2+2lg5=2（lg2+lg5）=2。

（2）23+ log 4 =23×2log 4=8×2log 4=8×2-log4=8×2log=8×=2。

（3）方法一：∵loga2=m，∴am=2，∵loga3=n，∴an=3，

故 a2m+n=（am）2?an=4×3=12。

方法二：∵loga2=m，loga3=n，∴a2m+n=a2log 2+log 3=alog12=12。

點評：（1）在對數運算中，先利用冪的運算把底數或真數進行變形，化成分數指數冪的形式，使冪的底數最簡，然后再運用對數運算法則化簡合并，在運算中要注意化同底和指數與對數互化。（2）熟練地運用對數的三個運算性質并配以代數式的恒等變形是對數計算、化簡、證明常用的技巧。

題型二 比較大小

例2 比較下列各組數的大小。

（1）log3與log5；

（2）log2π，log2，log3

（3）log1.10.7，log1.20.7。

分析： （1）引入中間量如“1”或“0”比較。（2）利用對數函數的圖像及單調性。

解：（1）∵log3＜log31=0，log5＞log51=0，

∴log3＜log5。

（2）方法一：∵0＜0.7＜1，1.1＜1.2，

∴0＞log0.71.1＞log0.71.2，

∴＜，

即由換底公式可得 log1.10.7＜log1.20.7。

方法二：作出y=log1.1x與y=log1.2x的圖像。

如圖4所示。兩圖像與x=0.7相交可知 log1.10.7＜log1.20.7。

點評： 比較對數式的大小或證明等式問題是對數中常見的題型，解決此類問題的方法很多。

（1）當底數相同時，可直接利用對數函數的單調性比較。

（2）若底數不同，真數相同，可轉化為同底（利用換底公式），或利用對數函數圖像，數形結合解得。

（3）若不同底，不同真數，則可利用中間量進行比較。

題型三 對數函數的性質

例3 已知函數f（x）=logax（a＞0，a≠1）， 如果對于任意x∈[3，+∞） 都有f（x）≥1成立，試求a的取值范圍。

分析：當x∈[3，+∞） 時，必有f（x）≥1成立，可以理解為函數f（x）在區間[3，+∞） 上的最小值不小于1。

解： 當a＞1時，對于任意x∈[3，+∞），都有f（x）＞0。

所以，f（x）=f（x），而f（x）=logax 在[3，+∞）上為增函數，

∴對于任意x∈[3，+∞） ，有f（x）≥loga3。

因此，要使f（x）≥1對于任意x∈[3，+∞）都成立，

只要loga3≥1=logaa 即可，∴1＜a≤3。

當0＜a＜1時，對于x∈[3，+∞），有f（x）＜0，

∴f（x）=-f（x）。

∵ f（x）=logax在[3，+∞）上為減函數，

∴-f（x）在[3，+∞） 上為增函數。

∴對于任意x∈[3，+∞） 都有f（x）=-f（x）≥-loga3。

因此，要使f（x）≥1 對于任意x∈[3，+∞） 都成立，

只要-loga3≥1成立即可。

綜上，使f（x）≥1對任意x∈[3，+∞）都成立的a的取值范圍是（1，3]∪[，1） 。

點評：本題屬于函數恒成立問題，即在x∈[3，+∞）時，函數

f（x）的絕對值恒大于等于1。恒成立問題一般有兩種思路：一是利用圖像轉化為最值問題；二是利用單調性轉化為最值問題。這里函數的底數為字母a，因此需對參數a分類討論。

題型四 與對數函數有關的綜合問題

例4 已知函數f（x）=loga（a＞0，a≠1，b＞0）。

（1）求函數f（x）的定義域；

（2）討論函數f（x）的奇偶性；

（3）討論函數f（x）的單調性。

分析：由真數大于0，求定義域，按奇偶性的定義判斷其奇偶性，單調性可按復合函數的單調性的規律判斷。

解：（1）令＞0，解得函數f（x）的定義域為（-∞，-b）∪（b，+∞）。

（2）函數f（x）的定義域關于原點對稱，f（-x）=loga=loga=-f（x）， 故函數f（x）是奇函數。

（3）令u（x）==1+，則u（x）在（-∞，-b）和（b，+∞）上是減函數，所以當0＜a＜1時，函數f（x）在（-∞， -b）和（b，+∞）上是增函數。

當a＞1時，函數f（x）在（-∞，-b）和（b，+∞）上是減函數。

例5 對于函數f（x）=log（x2-2ax+3）。

（1）若函數的定義域為R，求實數a的取值范圍；

（2）若函數的值域為R，求實數a的取值范圍；

（3）若函數在[-1，+∞） 上有意義，求實數a的取值范圍；

（4）若函數的值域為（-∞，-1]，求實數a的所有取值；

（5）若函數在（-∞，1]上是增函數，求實數a的取值范圍。

分析：此題共有5個小題，最后所求均是a的范圍，而已知又是常見的關于定義域、值域及函數的性質的條件，概念性很強，需要熟練運用對數函數與二次函數的性質求解，解答本題需要非常準確地理解與掌握函數中的每個概念。

解：設u=g（x）=x2-2ax+3=（x-a）2+3-a2。

（1） ∵u＞0，對x∈R恒成立，∴umin=3-a2＞0。

故a的取值范圍為（-，）。

（2） logu的值域為R?圳u=g（x），能取遍（0，+∞）的一切值，因此umin=3-a2≤0。

a的取值范圍為（-∞，]∪[，+∞）。

（3）函數f（x）在[-1，+∞）上有意義，

?圳u=g（x）>0對x∈[-1，+∞） 恒成立，

因此按g（x）的對稱軸x=a分類，則得：

a＜-1g(-1)>0 或a≥-1?駐=4a2-12＜0，

故a的取值范圍為（-2，)。

（4）∵函數f(x)的值域為（-∞,-1］，

∴g（x）的值域是［2,+∞），

因此要求g（x）能取遍［2,+∞）的一切值(而且不能多取)。

由于g（x）是連續函數，

所以命題等價于［g（x）］min=3-a2=2，故a=± 1。

（5）函數在（-∞，1］上是增函數?圳g（x）在（-∞，1］上是減函數，且g（x）>0對x∈（-∞，1］ 恒成立，

?圳a≥1g（1）>0，故a的取值范圍為[1，2）。

點評：（1）此題用同一個函數考查了常見的既是重要的基本問題，又是容易混淆的難點問題。做完后，應注意比較與總結。如函數在某區間上有意義與其定義域是某區間兩者之間是有本質區別的。函數在某區間上有意義說明此區間是它的定義域的一個子集，而不一定與定義域相同。（2）第（1）問與第（2）問也容易混淆。定義域為R是指函數式對任意x∈R都有意義；值域為R，定義域不一定為R。這要通過分析所給函數的性質來解決，如y=lgx，x的取值范圍只要包含（0,+∞），y便可取到全體實數。

（西南大學附屬中學）