Rⁿ上完全非線性退化拋物系統無界黏性解的存在性

王俊芳 王照良

摘 要 本文主要證明了上完全非線性退化拋物系統的耦合黏性上下解的比較原理的成立，也證明了黏性解的存在唯一性。

關鍵詞 耦合黏性上下解 完全非線性退化拋物方程 Perron's方法

中圖分類號：O1文獻標識碼：A

Existence of Unbounded Viscosity Solutions of Fully

Nonlinear Degenerate Parabolic Systems in

WANG Junfang[1], WANG Zhaoliang[2]

([1] Zhengzhou Vocational College of Industrial Safety, Zhengzhou, He'nan 450000;

[2] School of Mathematics and Information Science, He'nan Polytechnic University,Jiaozuo, He'nan 454000)

Abstract In this article, we prove the comparison principle for coupled viscosity sub and super-solution of degenerate parabolic systems of general form inby the technique of coupled viscosity sub- and supper-solutions. We also prove the existence, uniqueness of viscosity by Perron's method.

Key words Coupled viscosity sub and supper-solutions; Fully nonlinear degenerate parabolic equations; Perron's method

0 引言

這篇文章主要是關于下列二階完全非線性退化拋物方程組（1.1）

在黏性意義下的解。這里 = ( 0， ]住?讇讇住是給定的函數但不一定連續。未知函數→是實值函數；其中是捉資刀猿憑卣蟮募合?

對于擬單調系統來說，比較原理并不成立，為解決這個難題，我們利用了耦合黏性上下解的技巧。首先定義： () = {}:讇住?

這里，

定義1 假定是退化拋物擬單調的。我們稱()是(1.1)的黏性上下解，如果≤≤, ∈， 并且滿足

，

；

，

。

這里是通過∈讇錐ㄒ宓模可見[6]。

此時，如果 和 都是 (1.1)的耦合黏性上下解。則稱為 (1.1)的耦合黏性解；如果是 (1.1)的耦合耦合黏性解，稱為 (1.1)的黏性解。

在文獻 [6,7]里定義的黏性解僅適用于標量退化橢圓或拋物方程，而上述定義在[4,9] 中成為研究完全非線性拋物或橢圓系統一個有力工具。這篇文章，我們不僅證明了比較原理的成立，也證明了全空間上黏性解的存在唯一性，這個結果拓展了文獻[9]的內容，那里的區域是有界的。

1 比較原理

為建立比較原理，我們需加一些條件。

（1）：存在常數＞0，使得()(,,,,)≥-，，() ∈ 。

（2）：存在連續函數滿足 = 0使得對每一個固定，

(,,,,)() ≤ [||(1+||)]

, ∈,,,且≤。

（3）：存在常數使得

|()(,,,,)|≤||

∈, (,,,)∈

（4）：對每一個， = {|()|:||,||≤}＜∞。

定理1 設是退化拋物擬單調的且滿足 (1)-(4)，讓是(1.1)的耦合粘性上下解。假定至多線性增長，即存在，使得

≤(1+||), ≥-(1+||)（2.1）

則≤

在證明定理 1之前，我們先做出下面的粗略估計。

性質1. 假定滿足條件(4)。讓是(1.1)的耦合黏性上下解。滿足 (2.1)式。則對每個 ＞，存在常數 = (, )＞0使得

()()≤ ||+（2.2）

證明：假定和—在上上半連續，讓

() = ,=(1+||1/2) +

我們僅需證明，()≤，選取足夠大。（2.3）

選擇一組上函數，具有性質：

（a）：≥0； （b）：() = 0, ||＜, ；

（c）：；

（d）： = {|()|+|()|:∈,＞0}＜∞。

考慮函數 () = () (() + ())

由（2.1）和（c）知 ()＜0若||2 + ||2≥且0≤,≤，足夠大。假設（2.3）錯誤，由（b）得，{}＞0, 足夠大。注意到 在(,,,)上達到最大值，這里0＜ ,＜ , ,＜。于是

( ,+, )∈ ( ) ，

( ,, - )∈ ( )

這里 = ((1+||2)1/2) │z =x-y , = ((1+||2)1/2)│z =x-y , =

由于是(1.1)的耦合黏性上下解，則有

+ ((),, + ,)≤0（2.4）

+ ((),,, -)≥0（2.5）

又由（d）和的定義，知

| + |, | |, ||, |-|≤， = ( , )

兩式相減，再由（4），得≤，如果選取大于和，得出矛盾。

設 ， ＞0,＞1讓其中 () =,= (||2 + ||2)+

性質2.假設和滿足（2.2），且 = {():|＞ ,|()∈}＞0，則存在常數，使得()＞,0＜ ＜, 0＜ ＜ 0,＞1 （2.6）

證明：由（2.2）式知 ＜ +∞。根據條件，存在一點() ，使得()＞3/4且||4＜/ ， 足夠大。注意到 ()＞，因此 ()＞,, 充分小。

定理1的證明。反證，假設結論錯誤，則存在 ∈ ,＞0，使得={ :||＞ , ∈}

={{ :||＞ , ∈}}（2.7）

現在考慮函數

由（2.2）可看出是負的在緊集 [0, )??外。因上半連續，由（2.6），在點(,,)達到最大值，這里(,,)依賴于 , , 且(,,)＞0，則

≤|| +( 1+ )， （2.8）

根據和耦合黏性上下解的定義，可知≠0且≠，則存在數和 ∈，使得( +,+)∈ (), (,)∈()，

從（2.8）式看出 （||2 + ||2）和 ||3有界，且與0＜ , ≤1和 ＞1無關。因此當 →0時， , 收斂于0，關于一致。當 →∞時，||→0關于0＜ ,≤1一致。由[10]性質4.4，有||4 = 0，又由()是耦合黏性上下解，則

+ (, ,(),,+ ,+ )≤0 (2.9)

+ (, ,(),, , )≥0 (2.10)

兩式相減并注意下半連續，讓 →0，得

0≥ +(, ,(),,, )(, ,(),, , ) = +1+ 2+ 3

這里(, )是()的極限點，當 →0時，且＜，其中

1= (, ,(),,, )(, ,(),, , )；

2=(, ,(),,, )(, ,(), , , )；

3=(, ,(),,, )(, ,(), , , )

由條件（1）知 1＞ ( )→，當 →∞時；由條件（3）和（2.7），知 2＞，當 →∞時； 又由條件（2）和＜知，當 →∞， , →0時， 3≥- (|| (1+)) = -(|| +||4)→0。所以，≥，當 →∞， , →0時。于是得出矛盾，因為 ＞ ，故比較原理成立。

2 黏性解的存在

定理2.假定滿足定理 1的條件。為(1.1)的黏性上下解，≤且和至多線性增長。則(1.1) 有唯一黏性解。

對于定理2，我們不再給出證明，它是Perron方法的直接結果。

本文受福建省教育廳A類科技項目（JA09202）、河南理工大學青年基金（Q2011-36A）資助

參考文獻

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