光纖模式理論教學(xué)中如何應(yīng)用幾何光學(xué)分析方法

唐春曉

摘要： 本文作者從幾何光學(xué)的角度出發(fā)，利用駐波條件，分析了階躍折射率光纖中子午射線形成導(dǎo)模傳輸?shù)臈l件，對如何在教學(xué)中展開這一知識點，以及如何與波動光學(xué)下的模式理論銜接提出了自己的看法。

關(guān)鍵詞： 光纖模式理論幾何光學(xué)駐波

1.引言

光纖在光通信和光傳感領(lǐng)域有著極為重要的作用，在高校教學(xué)中諸如光纖通信、光電子技術(shù)、光電檢測技術(shù)、光電子器件等課程都會對光纖的相關(guān)知識加以講解。其中，最為重要也是最難以講清楚的知識點就是光纖的模式理論。目前，對于模式理論的講解通常是從波動光學(xué)的角度出發(fā)；而對于光纖的基本傳光原理和關(guān)鍵參數(shù)（如數(shù)值孔徑）卻是從幾何光學(xué)的角度來加以分析。因此，在教學(xué)過程中，這兩部分內(nèi)容之間的轉(zhuǎn)換比較生硬，知識之間存在斷層。針對這一問題，作者通過教學(xué)實踐發(fā)現(xiàn)，如果能將光纖的模式理論用幾何光學(xué)的方法加以分析，再根據(jù)幾何光學(xué)下模式理論的不足引出光纖模式的波動光學(xué)分析方法，就能夠很好地解決這一問題。光纖教學(xué)中，通常以階躍折射率光纖為研究對象，通過子午光線來加以講解，本文所述光線均指子午光線，光纖為階躍折射率光纖。

2.利用幾何光學(xué)分析光纖的模式

模式，指的是事物的標準樣式，這個詞涉及的范圍十分廣泛，例如：商業(yè)模式、管理模式、思維模式，等等。在光纖理論中，光的模式可以簡單地理解為具有相同傳播狀態(tài)的光的集合，不同的集合具有不同的稱呼，如導(dǎo)模、一階模等。光纖中傳播的光主要分為兩類，一類是可以在光纖中持續(xù)傳播的光，叫做導(dǎo)模；另一類是在傳播過程中能量損耗，在光纖中傳播很短距離后全部散失掉的光，叫做輻射模。光纖是傳輸光的，我們真正關(guān)心的是滿足何種條件的光可以在光纖中傳輸，導(dǎo)模是這一類光共有的名字，故將其簡稱為導(dǎo)模條件。［１］

根據(jù)光纖中光傳播的基本原理，只有滿足以下兩個條件的光才能被稱為導(dǎo)模：a.在纖芯和包層界面上的全反射條件；b.波導(dǎo)的橫向諧振條件。全反射條件是光纖教學(xué)中的基本知識點，此處不再贅述。［２］

光在光纖中傳播時，光纖橫截面上的光強分布是由大量光線疊加而成，如圖1所示。光纖中的導(dǎo)模在光纖橫截面上的分量疊加會形成駐波，也只有橫向分量疊加形成駐波的光，才有可能稱為導(dǎo)模，這一條件叫做橫向諧振條件。全反射條件和橫向諧振條件結(jié)合在一起構(gòu)成了導(dǎo)模的充要條件。

根據(jù)駐波理論，多個同類波疊加形成駐波的條件可簡化為單一波在往返運動中的相位變化特性。因此，橫向諧振條件可表述為：光在光纖橫截面上的分量（以下簡稱橫向分量）在纖芯和包層界面之間往返一次，相位變化為2π的整數(shù)倍時，該光線滿足橫向諧振條件。

在橫向諧振條件中橫向分量的相位變化由兩部分組成：（1）橫向分量的往返運動所造成的相位變化；（2）在纖芯和包層界面上全反射造成的全反射相移。

1.1橫向分量的往返運動產(chǎn)生的相位變化的計算

設(shè)某一光線的表達式為=sin（ωt+φ）式中，代表光矢量的方向和振幅，ω=代表光的角頻率，φ代表初始相位，（ωt+φ）則代表相位。當光在纖芯和包層的界面上的入射角為θ時，其橫向分量可以表述為′=cosθsin（ωt+φ），其中cosθ代表方向和振幅，而相位仍然是（ωt+φ）。因此，光的橫向分量與原光線具有相同的相位。

如圖2所示，光線1與光線2平行，屬于同一個模式。這一模式光的δ是指橫向分量從A點到B點再返回A點過程中由光程造成的相位差。光的橫向分量與原光線具有相同的相位，故其實質(zhì)是光線1在A點的相位和光線2在B點相位之間差值的兩倍。

在光傳播過程中，某一時刻其振動相位相同的點所構(gòu)成的面叫做波陣面，簡稱波面，波面與光的傳播方向相互垂直。［３］在圖2中，光線1和光線2為平行光，過B點做光線1的垂線，與光線1交于C點，則BC為波面，B點和C點的相位相同。C點和A點的相位差δ′可通過光程計算得到：

δ′=2π?=2π?=2π?（1）

因此，橫向分量的往返運動所造成的相位變化為：

δ=2δ′=4π?（2）

式中d為纖芯直徑，n為纖芯折射率，λ為入射光在纖芯中的波長，λ為入射光在真空中的波長。通常而言，表述光在真空中傳播方向的光矢量為，矢量的模k=稱為波數(shù)，則當光在某一方向上傳播L的距離時，其相位變化可表述為kL，即將波數(shù)作為計算路程引起的相位變化的運算系數(shù)。根據(jù)這一簡化算法，式（2）可表述為：

δ=2kdncosθ=2d?（kcosθ）（3）

式中k=kn=n=為入射光在纖芯中的波數(shù)。

此時，式（3）中的kcosθ可以看做是波數(shù)k在光纖橫截面上的分量，而2d可以看做是橫向分量往返運動的路程。則δ也可以簡單地理解為相位變化的運算系數(shù)與路程的乘積。

將波數(shù)k在光纖軸向上的分量定義為傳播常數(shù)β=ksinθ=nsinθ，則式（3）可以表述為

δ=2dk=2d=2d（4）

1.2全反射相移

當光在纖芯和包層的界面上發(fā)生全反射時，反射光相對于入射光會產(chǎn)生相位上的變化，稱為全反射相移。光是一種電磁波，其電場模和磁場模的全反射相移有所不同，電場模為?覬=-2arctan，磁場模為?覬′=-2arctan。利用傳播常數(shù)可以將其簡化為：

?覬=-2arctan=-2arctan（5）

?覬′=-2arctan=-2arctan（6）

為了便于后續(xù)分析，可將式（5）和（6）統(tǒng)一簡化為

?覬=f（k，n，n，β）（7）

結(jié)合式（7）和式（4）可以得到橫向諧振條件的數(shù)學(xué)表達式：

δ=δ+?覬=2d+f（k，n，n，β）=2mπm=1，2…（8）

光纖中的全反射條件的數(shù)學(xué)表述為：sinθ＞（9）

在前文論述中，θ是光在纖芯和包層的界面上的入射角，而沿光纖軸線方向傳播的光不存在這樣的入射角，因此前面所述分析不包含沿光線軸線方向傳播的光。

若定義沿著光纖軸線方向傳播的光對應(yīng)θ=90°，則θ的取值范圍擴展為（0°，90°］，將θ=90°代入式（3）、式（5）和式（6）可得δ=0、?覬=0、?覬′=0，即δ=0對應(yīng)m=0。因此，式（8）和式（9）可分別擴展為：

δ=δ+?覬=2d+f（k，n，n，β）=2mπm=0，1，2…（10）

0＜＜sinθ≤1（11）

進一步引入傳播常數(shù)，式（11）可轉(zhuǎn)化為：kn＜β≤kn（12）

結(jié)合式（10）和式（12）即可得到光纖中導(dǎo)模條件的完整數(shù)學(xué)表達式：

kn＜β≤kn2d+f（k，n，n，β）=2mπm=0，1，2，3…（13）

入射到光纖纖芯中的光，滿足式（13）的被稱為導(dǎo)模，可以在光纖中傳輸。其中，β和光纖中的導(dǎo)模一一對應(yīng)，被稱為模式的傳播常數(shù)；同一個m下求解出的導(dǎo)模統(tǒng)一劃分為一類，如在m=1時滿足導(dǎo)模條件的光被稱為1階模，在m=2時滿足導(dǎo)模條件的光被稱為2階模，以此類推，以便于將導(dǎo)模進一步細化分類和研究。

3.幾何光學(xué)下導(dǎo)模條件的分析與應(yīng)用

在式（13）中含有以下變量：k、n、β、n、d、m。

這些變量可以依據(jù)其描述的物理對象的不同而分為三類：

（1）描述入射光，進一步說是描述光源的變量：λ（由k表述）；

（2）描述光纖的變量：n、n、d；

（3）描述導(dǎo)模的變量：θ（由β表述）、m。

光源、光纖和模式涵蓋了光纖模式理論在工程應(yīng)用和科學(xué)研究中所涉及的全部要素。根據(jù)式（13），在已知光源和所要使用的光纖的情況下，可以分析出光纖中傳播的模式特性，將式（13）中的不等式代入等式中可得：

0≤2d+f（k，n，n，β）＜2dk（14）

其中，2d及f（k，n，n，β）都是β的遞減函數(shù)，也即

0≤2mπ＜2dkm=0，1，2，3…（15）

進一步簡化為

0≤m＜m=0，1，2，3…（16）

式（16）的意義在于：有且只有滿足式（16）的取值才能使式（13）成立，即只有滿足式（16）的模式才是導(dǎo)模。令m=定義為模式的閾值，根據(jù)式（16），光纖中能夠存在的最高階模式一定是“小于”m的最大整數(shù)，當然從這一整數(shù)向下直到0階模這些模式都是存在于纖芯中的。

從光纖特性來說，d＞0且n＞n，因此m＞0，代表m=0一定能滿足式（16），故在光纖中0階模一定存在，根據(jù)前面的分析0階模代表了那些傳播方向平行于光纖軸線的光，將其定義為基模。

另一方面，如果已知實際應(yīng)用中需要某一模式，同時光源已知的情況下，就可以分析出應(yīng)選擇什么參數(shù)的光纖，由式（16）可得

2d＞mλ≥0（17）

將市面上可以買到的光纖的參數(shù)代入式（17），所有使式（17）成立的光纖都可以滿足實際需求。

最后，由式（16）變形可得λ＜，根據(jù)這一式子，在已知光纖及實際需要光纖中傳播何種模式的情況下，可以分析出應(yīng)使用何種波長的光源。

總而言之，光源、光纖和導(dǎo)模這三個對象中，只要知道其中兩項，就可以通過導(dǎo)模條見分析出第三項的特性，這就是幾何光學(xué)下導(dǎo)模條件的實際意義。

4.幾何光學(xué)下導(dǎo)模條件的不足與波動光學(xué)模式理論的引出

光纖按照其中傳播的模式的不同可以分為兩種：單模光纖和多模光纖。根據(jù)前文對式（16）的分析可知，單模光纖中只有基模傳輸，即只有m=0滿足式（16），因此可以推導(dǎo)出其充要條件：

≤1?圯d≤=（18）

式（18）表明了在幾何光學(xué)模式理論下光纖中形成單模傳輸?shù)臈l件。但是，目前市面上光纖的數(shù)值孔徑通常為0.18—0.35之間，根據(jù)式（18）可知光纖直徑的取值上限約在之間2.78λ∶1.43λ，即纖芯尺寸與入射光波長相近，這就與幾何光學(xué)適用范圍產(chǎn)生了矛盾。光學(xué)研究中，幾何光學(xué)通常用來研究尺寸遠大于光波長的對象，而對于尺寸與光波長相似的對象而言，其光學(xué)特性應(yīng)當從波動光學(xué)的角度加以研究。因此，式（18）所得的結(jié)論是一個近似解，光纖模式的幾何光學(xué)分析結(jié)論更適用于多模光纖的分析。如果要研究光纖單模傳輸?shù)木_條件，應(yīng)從波動光學(xué)理論出發(fā)，這樣就可順勢引出光纖模式的波動光學(xué)分析的教學(xué)內(nèi)容。

實際上，在波動光學(xué)的模式理論中，光纖中實現(xiàn)單模傳輸?shù)臈l件可以通過歸一化頻率來表述［４］：

V==＜2.4

?圯d＜2.4≈（19）

對比式（18）和式（19），＜，即凡是滿足式（18）的光纖系統(tǒng)都能夠滿足式（19），因此，幾何光學(xué)的單模條件雖然在學(xué)術(shù)上不夠嚴謹，但是在實際應(yīng)用中仍然是成立的。

5.結(jié)語

本文主要闡述了利用幾何光學(xué)分析光纖模式理論的方法。在實際教學(xué)中，這一部分可以作為光纖基礎(chǔ)知識和波動光學(xué)下光纖模式理論這兩部分知識點之間的過渡，使得學(xué)生學(xué)習光纖相關(guān)內(nèi)容時更加連貫。尤其是幾何光學(xué)下的單模傳輸條件，既用到了光纖的基本參數(shù)數(shù)值孔徑，本身又是幾何光學(xué)的模式理論的結(jié)果，更可以引導(dǎo)出光纖模式的波動光學(xué)分析，從而用一條線將整個光纖知識串聯(lián)起來。希望本文的內(nèi)容對于涉及光纖知識的教師和學(xué)生有所幫助。

參考文獻：

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