淺論高等數(shù)學(xué)中極限理論的教學(xué)

彭新俊

摘要： 極限理論描述了變量在無限變化過程中的目標(biāo)函數(shù)的變化趨勢，是高等數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，也是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的難點之一。在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，向?qū)W生系統(tǒng)講解極限的重要意義與地位對高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有十分重要的意義。

關(guān)鍵詞： 高等數(shù)學(xué)極限理論教學(xué)過程

現(xiàn)行高等數(shù)學(xué)的課程主線，可歸納為：函數(shù)→極限→連續(xù)→微分學(xué)及應(yīng)用→積分學(xué)及應(yīng)用→常微分方程→無窮級數(shù)。除了第一部分作為最簡單的基礎(chǔ)內(nèi)容之外，其余教學(xué)內(nèi)容的一個核心思想其實就是圍繞極限這一概念展開的。事實上，極限理論是人們認(rèn)識無限變化的偉大思想，這種思想的運用擴大了人們的思維空間。同時極限也是微積分中最基本、最重要的概念，它從數(shù)量上描述變量在無限變化過程中的變化趨勢，是構(gòu)成微積分的基礎(chǔ)。因此，在學(xué)生學(xué)習(xí)過程中，我們要把極限當(dāng)做一個極其重要的知識點進行展開。那么，在教學(xué)過程中體現(xiàn)并讓學(xué)生理解極限的重要意義與地位成為學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。在教學(xué)過程中，我們需要從以下幾個方面進行展開與討論。

一、極限理論的歷史

極限的思想和方法是社會實踐的產(chǎn)物，其萌芽可追溯到古代。在古希臘、中國和印度數(shù)學(xué)家的著作中，已不乏樸素的極限思想，如用無限趨近概念計算特別形狀的面積、體積和曲線長的例子。

古希臘的安提芬最早表述了“窮竭法”，他在研究“化圓為方”問題時，提出了使用圓內(nèi)接正多邊形面積“窮竭”圓面積的思想。后來，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克斯改進了“窮竭法”。將其定義為：“在一個量中減去比其一半還大的量，不斷重復(fù)這個過程，可以使剩下的量變得任意小。”“窮竭法”被后人稱為阿基米德原理。古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德將“窮竭法”發(fā)展成“括約法”，并將其廣泛應(yīng)用于求解曲面面積和旋轉(zhuǎn)體體積。用此方法來證明圓面積時，不僅利用圓內(nèi)接正多邊形，而且用圓外切正多邊形把圓的面積“括約”在十分接近于圓的外切與內(nèi)接正多邊形的面積之間。這一方法盡管沒有明確提出極限的概念，但已經(jīng)蘊含了極限計算的重要方法之一的迫斂性。

在中國戰(zhàn)國時期的《莊子?天下篇》中有一段話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”這是我國較早出現(xiàn)的極限思想，也是最簡單的數(shù)列{}的極限問題。又如我國魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽在注釋《九章算術(shù)》時創(chuàng)立了有名的“割圓術(shù)”。他的極限思想是：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失。”他創(chuàng)造性地將極限思想應(yīng)用到數(shù)學(xué)領(lǐng)域，這種無限接近的思想就是極限概念的基礎(chǔ)。劉徽首先考慮圓內(nèi)接正六邊形面積，接著是正十二邊形面積，然后依次加倍邊數(shù)，則正多邊形面積愈來愈接近圓面積。按照這種思想，他一直算到內(nèi)接正192邊形的面積，得到π≈3.14，之后又算到內(nèi)接正3072邊形，得到π≈3.1416，這在當(dāng)時是非常了不起的。

到了16世紀(jì)以后，歐洲生產(chǎn)力得到極大發(fā)展。生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)中存在大量的變量問題，如曲線切線問題、變力做功問題等，初等數(shù)學(xué)方法對此越來越無能為力，需要的是新的數(shù)學(xué)思想和方法，突破只研究常量的傳統(tǒng)范圍，提供能夠用以描述和研究運動、變化過程的新工具，這是促進極限發(fā)展、建立微積分的社會背景。牛頓和萊布尼茨以無窮小概念為基礎(chǔ)建立微積分，給出了數(shù)列極限的描述性定義：“如果當(dāng)n無限增大時，a無限地接近于常數(shù)A，那么就說a以A為極限。”之后，維爾斯特拉斯為了排除極限概念中的直觀痕跡，建立了ε-N語言，給微積分提供了嚴(yán)格理論基礎(chǔ)。所謂a以A為極限，就是指：“如果對任何ε＞0，總存在自然數(shù)N，使得當(dāng)n＞N時，不等式|a-A|＜ε恒成立。”這個定義，借助不等式，定量地、具體地刻畫了兩個“無限過程”之間的聯(lián)系。因此，這樣的定義是嚴(yán)格的，其作為科學(xué)論證的基礎(chǔ)，至今仍被廣泛使用。

在引入極限定義之前，可適當(dāng)介紹以上關(guān)于極限產(chǎn)生的歷史背景，以激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知欲，提高他們的學(xué)習(xí)興趣，同時對提高學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)也是大有裨益的。

二、極限理論的學(xué)習(xí)

以上極限定義的ε-N語言盡管精確地描述了極限的定義，但在內(nèi)容上表現(xiàn)為術(shù)語抽象，符號陌生。因此，作為教學(xué)重點和難點之一的極限理論，教師感到難教，學(xué)生感到難學(xué)。極限理論以其獨特的研究方法和動態(tài)的變換方式為學(xué)生展示了一個想象空間：以變量及變量之間的聯(lián)系為思維對象，運用無窮小量分析變量的變化過程，從近似認(rèn)識精確，從有限認(rèn)識無限，從量變認(rèn)識質(zhì)變……無不貫穿著深刻的辯證思想。極限理論實質(zhì)上是一種無限逼近的思想方法。

然而，學(xué)生習(xí)慣于靜止的、有限的、單一的和直觀的情境，而不習(xí)慣在運動變化中探討事物規(guī)律，不習(xí)慣表達極限概念的語言模式。如他們并不注意觀察數(shù)列的變化趨勢，著眼點往往放在數(shù)列的“終點”上，注意力缺乏整體性；對符號a，ε，n＞N，|a-A|＜ε等不習(xí)慣在變化中理解其相互關(guān)系，對關(guān)鍵字句的數(shù)學(xué)意義不求甚解，對形成ε-N意義的必然性不重視，在具體表達時或任意增刪字句，或順序顛倒造成邏輯混亂，對極限概念的形成缺乏感性認(rèn)識。從而導(dǎo)致在學(xué)習(xí)極限理論的初始階段容易心理失去平衡，喪失對高等數(shù)學(xué)的興趣。因此極限教學(xué)應(yīng)力求直觀，讓學(xué)生動口動手動腦，由感性到理性，由特殊到一般，由有限到無限，逐步掌握極限概念的思維方法。

簡而言之，我們在教學(xué)過程中要從具體問題出發(fā)，讓學(xué)生充分掌握ε的任意性。1.ε是預(yù)先給定的任意小正數(shù)，它具有兩重性：就整個極限過程來看，ε具有絕對的任意性；就極限過程某個片段看，ε具有相對固定性，即一經(jīng)給定，就需找到合適的N，當(dāng)n＞N時有|a-A|＜ε。絕對任意性是通過相對固定性表現(xiàn)出來，這就反映了a接近于A的近似關(guān)系與a的極限是A的精確關(guān)系。2.找出項數(shù)N是關(guān)鍵，N相對ε而存在，ε愈小，N愈大。同時N對給定的ε又是不唯一的，存在無限多個。3.在“ε-N”定義的|a-A|＜ε中，a表示當(dāng)n＞N時，a以后的所有項。4.當(dāng)A為數(shù)列{a}的極限時，A是唯一存在的，表示的是當(dāng)n無限增大時，a趨向的目標(biāo)。以上僅是極限定義的教學(xué)過程中所需注意的關(guān)鍵事項，在教學(xué)過程中，我們應(yīng)從具體數(shù)列出發(fā)，并結(jié)合中學(xué)階段的數(shù)學(xué)方法，實現(xiàn)學(xué)生從感性、具體出發(fā)到達理性與一般性，從而深入掌握ε-N語言。以上僅是對極限定義教學(xué)過程中的一些理解，對于后續(xù)的極限計算，仍有大量需要注意的問題。

三、極限理論與微積分

微積分所研究的對象是函數(shù)，所用的方法可以說就是極限，從方法論的角度來說，這是微積分區(qū)別于初等數(shù)學(xué)的顯著標(biāo)志。極限是整個微積分的理論基礎(chǔ)，在微積分中幾乎所有重要概念都離不開極限。

首先，極限為微積分注入嚴(yán)密性。微積分產(chǎn)生于17世紀(jì)后半葉，從創(chuàng)立到基本完善經(jīng)歷了大約三個世紀(jì)的時間。在牛頓創(chuàng)立微積分的過程中，導(dǎo)數(shù)概念和微積分理論體系中最多只用到了極限的直觀描述，這導(dǎo)致在認(rèn)識上很容易接受之余卻不能令人信服和承認(rèn)。直到19世紀(jì)初，柯西與維爾斯特拉斯等人發(fā)展了極限理論，用這些理論對微積分進行了嚴(yán)密化，并得到各反對派的普遍認(rèn)可，微積分理論才得以迅速發(fā)展。事實上，極限理論是微積分的真正抽象。

其次，極限實現(xiàn)了有限與無限之間的轉(zhuǎn)化。現(xiàn)實世界中的有限和無限在人們的頭腦中有著本質(zhì)的區(qū)別。然而，有限和無限在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。而微積分正是巧妙地應(yīng)用極限實現(xiàn)這一轉(zhuǎn)化取得的重大成果。如，對極限a=A的ε-N定義過程中就實現(xiàn)了這一轉(zhuǎn)化。該定義不僅從一個側(cè)面反映了過程的無限增大，以及a的無限接近于A，而且有限值A(chǔ)體現(xiàn)了a的主要部分和無限變化過程。又如，在導(dǎo)數(shù)的定義中，同樣體現(xiàn)了化有限為無限的過程，用無限來認(rèn)識有限的問題。為了確定瞬時變化率（導(dǎo)數(shù)），我們首先考察某一區(qū)間內(nèi)的平均變化率，然后設(shè)想?yún)^(qū)間逐漸縮小并推廣到無限，那么平均變化率就經(jīng)歷一個無限變動過程后轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)。類似的例子還體現(xiàn)在定積分定義、級數(shù)理論等微積分具體問題中。

最后，極限理論實現(xiàn)了微積分中連續(xù)與不連續(xù)這一對有本質(zhì)區(qū)別的問題的在一定條件下的轉(zhuǎn)化。如，對定積分的定義過程中，只要劃分的間隔充分小，我們就可將離散的求和形式通過極限理論轉(zhuǎn)化為連續(xù)量在某一區(qū)間上的定積分。又如，在關(guān)于連續(xù)和間斷的討論中，這一對重要的矛盾概念可以通過極限理論得到統(tǒng)一化處理，并可將可去間斷點轉(zhuǎn)化為連續(xù)點。這些方面都無一例外地體現(xiàn)了極限實現(xiàn)了連續(xù)與不連續(xù)的相互轉(zhuǎn)化和統(tǒng)一。

參考文獻：

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