從一道題的錯解談“解幾”中定型與定量的解題策略

廖平安

例題：已知雙曲線的右準線為x=4，右焦點F（10，0），離心率e=2，求雙曲線方程.

錯解一：∵右準線方程為x=4，∴=4，又c=10，∴a=40，b=c-a=60，故雙曲線方程為-=1.

錯解二：∵右焦點F（10，0），∴C=10，又e==2，∴a=5，b=c-a=75，故所求的雙曲線方程-=1.

上述兩個錯解，究其原因，是對曲線的“型與量”的關(guān)系處理不當.因為雙曲線的中心沒有明確在坐標原點上，所以不能根據(jù)雙曲線的標準方程中的量與量的關(guān)系來定量計算.也就是說該題由于雙曲線位置關(guān)系不明，就不能用定型到定量的方法解決，只能用圓錐曲線第二定義來解決.而所謂“定型”是指對曲線的形狀、位置、大小的確定（或判斷）.“定量”則是在定型的基礎(chǔ)上，求曲線（方程）中所涉及數(shù)量.我們在解題中只有認真審清題意，準確地判斷好曲線形狀、位置、大小，才能相應(yīng)地定量計算相關(guān)的量.其實解析幾何中很多題目都是由定型到定量或定量到定型來解決的，把定型和定量有機地結(jié)合起來，就能快速準確解決解析幾何中曲線問題，如下面例子.

一、由曲線“定型→定量”的解題

在通過題目分析，確定曲線形狀及其位置（定型）后，再根據(jù)其形狀、位置、大小來定量解決相關(guān)數(shù)量，或設(shè)好曲線的（方程）待定式，再求式中的待定數(shù)與量（定量）.

例題1（2002年北京高考?文）：若直線L∶y=kx-與直線2x+3y-6=0的交點位于第一象限，則直線L傾斜角的取值范圍（）.

A.（，）B.（，）C.（，）D.（，）

解析：因為直線2x+3y-6=0過點A（3，0）和點B（0，2），直線L∶y=kx-過點C（0，-），所以直線L繞C點必須與線段AB相交（不含點A、B）時，則交點進入第一象限（定型）.易求直線L傾斜角的取值范圍（定量）是（，）.

例題2（2003年北京春季招生?理）：已知直線ax+by+c=0（abc≠0）與圓x+y=1相切，則三邊長分別|a|，|b|，|c|的三角形是（）.

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不存在

解析：因為直線與單位圓相切（定型），所以圓心到直線的距離等于半徑（定量），所以=1，即|a|+|b|=|c|.故選B.

二、由曲線的“定量定型”的解題

在通過題目分析中，由題中的數(shù)量（定量）關(guān)系，確定曲線的形狀或位置或大?。ǘㄐ停┣闆r.然后利用曲線固有的一些性質(zhì)來解題.

例題3：頂點在原點，坐標軸為對稱軸，且過點（-2，3）的拋物線是（）.

A.y=-x B.x=y

C.y=-x或x=yD.以上都不對

解析：由點（-2，3）的坐標（定量）可知，拋物線經(jīng)過第二象限（定型），故可設(shè)拋物線方程為y=-2px或x=2py（p＞0），此時把（-2，3）的坐標代入可得p=或p=，故選C.

例題4：已知曲線的中心在原點，焦點F，F(xiàn)在坐標軸上，離心率為，且過點（4，-）.

（1）求曲線方程；

（2）若點M（3，m）在曲線上，求證：MF⊥MF；

（3）求△FMF面積.

解析：（1）∵曲線離心率e=（定量），∴曲線是雙曲線（定型），可設(shè)方程為x-y=λ（λ≠0）；

又∵曲線過點（4，-），∴16-10=λ，即λ=6.

所以雙曲線方程為x-y=6.

（2）易知焦點F（-2，0），F(xiàn)（2，0），

∴K=，K=，∴K?K==-.

又∵（3，m）在雙曲線上，∴9-m=6，m=3，

故K?K=-1（定量），則MF⊥MF（定型）.

（3）由M（3，±）在曲線上知（定型），△FMF中FF=4，邊FF的高h=（定量），∴△FMF面積是6.

三、由曲線的“定型?圮定量”的解題

在許多題目解答中，往往還要利用定型、定量多次轉(zhuǎn)換.

1.由曲線“定量→定型→定量”的解題

例題5：已知圓M經(jīng)過點P（-4，0），且與圓C：x-8x+y=0相切的圓心M的軌跡方程是.

解析:設(shè)圓M的半徑為R，又由圓C的標準方程（x-4）+y=16可知半徑r=4，結(jié)合圖形可得，若圓M與圓C外切時，|MC|-|MP|=4，若圓M與圓C內(nèi)切時，|MC|-|MP|=-4，也就是說||MC|-|MP||=4（定量）.顯然點M的軌跡滿足雙曲線的定義，則點M軌跡是以P，C為焦點雙曲線（定型），其點M軌跡方程為-=1（a＞0，b＞0），由題意和雙曲線定義可知2a=4，c=4，則可求得b=12（定量）.故填-=1.

2.由曲線“定型→定量→定型”的解題

例題6：方程y=ax+b與y=ax-b表示的曲線在同一坐標系中的位置可以是（）.

解析：由四個選項可知，y=ax-b表示橢圓（定型），∴y-ax=-b，即y+=-b，∴a＜0，b＜0（定量）；由此可得拋物線y=ax+b是開口向左且焦點在x的負半軸上（定型）.故選A.

綜上所述，定型與定量是在解析幾何中解決問題的一種重要思想方法與技巧，我們只要善于準確判斷曲線的“型和量”，就能利用這種方法和技巧來提高解題能力，提高解題的準確性.