對(duì)高二一則物理實(shí)驗(yàn)的測(cè)量方法和誤差分析

劉文橋

【摘要】本文對(duì)學(xué)生進(jìn)行分組實(shí)驗(yàn)過(guò)程中提出的問(wèn)題，積極創(chuàng)設(shè)情景與條件，充分發(fā)揮學(xué)生的主體性，對(duì)所提問(wèn)題，從理論上和物理思想方法上給予了詳細(xì)的討論和定量分析，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和發(fā)散思維與實(shí)踐能力。

【關(guān)鍵詞】測(cè)量方法 誤差分析 伏安法 伏阻法 安阻法 等效電源法

【中圖分類號(hào)】G633.7 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2012）07-0113-02

在做“測(cè)定電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻”實(shí)驗(yàn)時(shí)，勤學(xué)好問(wèn)的學(xué)生會(huì)問(wèn)：課本中的實(shí)驗(yàn)所用電路其電流表相對(duì)電源而言采用了“外接法”（研究對(duì)象是電源，相對(duì)電源安培表接在了伏特表外面，故稱為“外接法”），為何不用“內(nèi)接法”呢？有的學(xué)生根據(jù)教材中的例題會(huì)進(jìn)一步聯(lián)想：除了學(xué)生分組實(shí)驗(yàn)介紹的方法外還有其它方法嗎？這對(duì)高二的學(xué)生來(lái)說(shuō)能提出這樣的問(wèn)題，實(shí)在是難能可貴。要回答這些問(wèn)題，需先從“測(cè)定電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻”實(shí)驗(yàn)原理和實(shí)驗(yàn)誤差產(chǎn)生的原因分析談起。

我們知道，電源電動(dòng)勢(shì)（高內(nèi)阻伏特表可直接近似測(cè)量電源電動(dòng)勢(shì)）和內(nèi)阻不可以直接測(cè)量，但電源通過(guò)導(dǎo)線向外電路輸出了電壓、電流和電能，在外電路是純電阻的情況下又遵循閉合電路歐姆定律，而在外電路可直接測(cè)量（或確定）的物理量有三個(gè)：輸出電壓U、輸出電流I和外電阻R，三者又遵循歐姆定律，知道其中兩個(gè)物理量，可求出第三個(gè)物理量，因此只要直接測(cè)出（或已知）電源外電路三個(gè)物理量中在不同外電阻時(shí)任意兩個(gè)物理量共兩組，再根據(jù)閉合電路歐姆定律建立兩個(gè)方程，聯(lián)立可求出電動(dòng)勢(shì)E和內(nèi)阻r。根據(jù)所測(cè)量（或已知）的外電路中物理量組合的不同，我們把測(cè)量方法分別叫“伏安法”、“伏阻法”和“安阻法”，下面分別討論其測(cè)量原理、方法、電路和誤差分析。

一、測(cè)量原理和方法及電路

（一）伏安法

1.測(cè)量原理和方法：“伏安法”測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻就是用伏特表和安培表分別測(cè)出電源在連接不同外電阻時(shí)電源的輸出電壓和電流共兩組，再根據(jù)閉合電路歐姆定律E=U+Ir，列出兩個(gè)方程：E=U1+I1r，E=U2+I2r，可求得E=■，r=■。也可測(cè)出多組用作圖法求解E和r。

2．測(cè)量電路：

圖1、圖2是“伏安法”測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻的兩種接法，相對(duì)電源而言分別叫安培表“外接法”和“內(nèi)接法”，如果兩表都是理想的電表，那么用圖1、圖2測(cè)量時(shí)測(cè)量結(jié)果是一樣的，都不存在系統(tǒng)誤差，兩種測(cè)量電路沒(méi)有本質(zhì)差別；如果兩表不是理想的電表，則用圖1、圖2測(cè)定待測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻都存在實(shí)驗(yàn)誤差，而且偏大偏小不同，圖1是由伏特表分流引起的、圖2是由安培表分壓引起的。（下面再分析）

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（二）伏阻法

1.測(cè)量原理和方法：“伏阻法”測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻就是用兩個(gè)阻值已知的定值電阻（或電阻箱），單刀雙擲開(kāi)關(guān)與電源構(gòu)成閉合電路，用伏特表測(cè)出外電阻分別為R1、R2時(shí)的路端電壓U1和U2，即有E=U1+■r，E=U2+■r，可得E=■U1U2，r=■R1R2。

2．測(cè)量電路：

圖3是“伏阻法”測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻的電路圖，由于流過(guò)定值電阻的電流為I=U/R，這里相當(dāng)于用U/R代替了圖1中的安培表所測(cè)的電流，故“伏阻法”本質(zhì)上與圖1一樣，相對(duì)于電源而言相當(dāng)于安培表接在伏特表外面；若伏特表不是理想的電表，則誤差產(chǎn)生的原因與圖1一樣，都是由于伏特表分流引起的。

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（三）安阻法

1. 測(cè)量原理和方法：“安阻法”測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻就是用兩個(gè)阻值已知的定值電阻（或電阻箱）和單刀雙擲開(kāi)關(guān)與電源構(gòu)成閉合電路，用安培表測(cè)出外電阻分別為R1、R2時(shí)的輸出電流I1和I2，即有E=I1（R1+r），E=I2（R2+r），可得E=■I1I2，r=■。

2．測(cè)量電路：

圖4是“安阻法”測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻的電路圖，由于加在定值電阻上的電壓為U=I·R，這里相當(dāng)于用I·R代替了圖2中的伏特表所測(cè)的電壓，故“安阻法”本質(zhì)上與圖2一樣，相對(duì)于電源而言相當(dāng)于安培表接在伏特表里面；若安培表不是理想的電表，則誤差產(chǎn)生的原因與圖2一樣，都是由于安培表分壓引起的。

二、誤差分析

在實(shí)際測(cè)量中，由于測(cè)量電表都不是理想電表，伏特表由于存在內(nèi)阻有分流作用，安培表由于存在內(nèi)阻有分壓作用，因此測(cè)量誤差總是存在的。又通過(guò)以上分析可以看出，由于在“伏阻法”中相當(dāng)于用U/R代替了圖1中電流表的讀數(shù)，在“安阻法”中相當(dāng)于用I·R代替了圖2中伏特表的讀數(shù)，因此后兩種測(cè)量方法誤差產(chǎn)生的原因都可以歸結(jié)到第一種方法——伏安法的兩種接法中。所以下面的誤差分析僅討論“伏安法”中兩種接法誤差產(chǎn)生的原因。“伏安法” 測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻的誤差分析通常有三種方法：1.解方程組法；2.等效電源法；3.圖像法。限于篇幅下面僅定量討論前兩種方法。

（一）解方程組法

1．采用安培表“外接法”實(shí)驗(yàn)電路如圖1所示，誤差產(chǎn)生在于伏特表的分流作用；若考慮了伏特表的分流作用，則列出的方程式應(yīng)為：

E=U1+(I1+■r) E=U2+(I2+■r)

E和r是真實(shí)值，可解得：

E=■r=■

與前面不計(jì)伏特表內(nèi)阻可列方程為：

E測(cè)=U1+I1r測(cè)，E測(cè)=U2+I2r測(cè)

可解得： E測(cè)=■，r測(cè)=■。

再對(duì)比整理可得測(cè)量值和真實(shí)值的關(guān)系：

E測(cè)=■E＜Er測(cè)=■r＜r

說(shuō)明電源內(nèi)阻的測(cè)量值相當(dāng)于是伏特表的內(nèi)阻RV與電源內(nèi)阻r的并聯(lián)值；電動(dòng)勢(shì)的測(cè)量值是外電阻斷路時(shí)實(shí)際伏特表的測(cè)量讀數(shù)，即外電阻斷路時(shí)電源對(duì)伏特表的輸出電壓。可見(jiàn)無(wú)論是電源電動(dòng)勢(shì)還是內(nèi)阻，實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果比真實(shí)值都偏小。

2．采用安培表“內(nèi)接法”實(shí)驗(yàn)電路如圖2所示，誤差產(chǎn)生在于安培表的分壓作用；若考慮了安培表的分壓作用，則列出的方程式應(yīng)為：

E=U1+I1（r+RA）E=U2+I2（r+RA）

E和r是真實(shí)值，可解得：

E=■， r=■-RA

與前面不計(jì)安培表內(nèi)阻可列方程為：

E測(cè)=U1+I1r測(cè)，E測(cè)=U2+I2r測(cè)

可解得：E測(cè)=■，r測(cè)=■。

再對(duì)比可得測(cè)量值和真實(shí)值的關(guān)系：

E測(cè)=Er測(cè)= r+RA＞r

說(shuō)明內(nèi)阻的測(cè)量值相當(dāng)于是安培表的內(nèi)阻RA與電源內(nèi)阻r的串聯(lián)值；電動(dòng)勢(shì)的測(cè)量值等于真實(shí)值。

(二)等效電源法

1．理論依據(jù)

根據(jù)閉合電路歐姆定律，我們知道；U=E－Ir，I=E/（R+r），當(dāng)電源以外電阻R無(wú)窮大時(shí)（即電路斷開(kāi)），回路電流為零，此時(shí)的路端電壓等于電源電動(dòng)勢(shì)（I=0時(shí)U=E）；當(dāng)外電阻R=0時(shí)（即電源被短路），電動(dòng)勢(shì)與短路電流的比值為電源的內(nèi)阻（R=0時(shí)，r=E/r短）。

2．等效電源

等效電源：把已知電源與部分定值電阻串聯(lián)或并聯(lián)在一起而形成的部分電路，對(duì)外構(gòu)成一個(gè)等效電源，如圖5、圖6所示。

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說(shuō)明：E為電源的電動(dòng)勢(shì)，r為電源的內(nèi)阻，R為串聯(lián)（或并聯(lián)）的電阻，虛線框內(nèi)為等效電源，E′為等效電源的電動(dòng)勢(shì)，r′為等效電源的內(nèi)阻。

等效電源的電動(dòng)勢(shì)：等效電源開(kāi)路時(shí)，兩極間的路端電壓等于等效電源的電動(dòng)勢(shì)。如圖5中E′=E，圖6中E′=■E。

等效電源的內(nèi)阻：等效電源短路時(shí)（即用導(dǎo)線直接把等效電源的兩極連接），等效電源的電動(dòng)勢(shì)與短路電流的比值。如圖5中短路電流i短=■，所以r′=R+r；圖6中短路電流i短=■（R被短路），所以r′=■。

3．誤差分析

用“伏安法”測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻的實(shí)驗(yàn)，伏特表測(cè)路端電壓，安培表測(cè)回路電流，由于兩表都有內(nèi)阻，必然對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果造成一定的誤差。若采用安培表“外接法”即圖1作為實(shí)驗(yàn)電路時(shí)，可以把圖1、圖3中虛線框內(nèi)的伏特表和電源等效為一個(gè)新電源，安培表所測(cè)為等效電源的回路電流，根據(jù)E=U+Ir，可知計(jì)算結(jié)果為等效電源的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻，因此分析誤差只需將等效電源的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻與真實(shí)電源進(jìn)行比較即可。設(shè)伏特表內(nèi)阻為RV，安培表內(nèi)阻為RA，電源電動(dòng)勢(shì)為E，內(nèi)阻為r，等效電源的電動(dòng)勢(shì)為E′，等效電源的內(nèi)阻為r′，則有：r′=■＜r， E′=■E＜E，E′、r′即為測(cè)量值，可見(jiàn)無(wú)論是電源電動(dòng)勢(shì)還是內(nèi)阻，實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果比真實(shí)值都偏小。

若采用安培表“內(nèi)接法”即圖2作為實(shí)驗(yàn)電路時(shí)，則可以把圖2、圖4中虛線框內(nèi)的安培表和電源等效為一個(gè)新電源，有E′=E、r′=r+RA＞r。可見(jiàn)，實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果電源電動(dòng)勢(shì)等于真實(shí)值，內(nèi)阻比真實(shí)值偏大。

通過(guò)以上分析可知，采用安培表“外接法”，測(cè)量的系統(tǒng)誤差來(lái)源于伏特表的分流作用，選用器材時(shí)應(yīng)選用高內(nèi)阻的伏特表。一般情況下，由于伏特表的內(nèi)阻遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于電源內(nèi)阻，故盡管測(cè)得的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻都有誤差，但誤差都較小，因而一般實(shí)驗(yàn)時(shí)都采用圖1、3,即安培表“外接法”進(jìn)行測(cè)量。若采用安培表“內(nèi)接法”，測(cè)量的系統(tǒng)誤差來(lái)源于安培表的分壓作用，在一般情況下RA與r相差不是很大，用此測(cè)量電路進(jìn)行測(cè)量盡管電動(dòng)勢(shì)的測(cè)量準(zhǔn)確，但內(nèi)阻測(cè)量誤差過(guò)大，權(quán)衡利弊，所以在學(xué)生分組實(shí)驗(yàn)中一般采用安培表“外接法”，即采用圖1電路圖進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。