例談高中數學解題思想

竹林烽

在很多課堂教學中，老師和學生往往注重解題技巧或者解題方法的講解和掌握，而忽略了對教材的精研細究，往往導致事倍功半。對一些數學思想的重視不夠，也成為了學生在高考中失分的一大隱憂，數學思想方法的掌握和正確運用，對解題往往起著事半功倍的效果。

一、分類討論思想

分類是以比較為基礎的，它能揭示數學之間的規律。根據數學本質屬性的異同，將數學對象區分為不同種類的思想方法，為分類思想，它是近代、現代數學中的一種重要的思想方法。在教學中，應教給學生分類思想，培養辨證思維，引導他們由形象分類進入本質分類，使所學知識系統化、條理化，形成一個完整的知識網絡。數學問題的論域往往表現為一個大集合一全集。分類就是將大集合分為一些小集合，每個小集合叫一個類，這里面還必須講清楚科學分類不準重復、不準遺漏的要求及分類要選取一定的標準，不同的標準產生了不同的分類。在教學中我們要有意識的灌輸分類的思想。如講函數的性質時，我們是以函數的奇偶性為標準把函數全體分為奇函數、偶函數、非奇非偶函數和既奇又偶函數四大類，又以周期性為標準把它們分為周期函數和非周期函數兩大類的。顯然，分類的作用就是化整為零，分而治之，各個擊破。下面通過兩個例題探討一下：

例1：確定的m值，x2

解：底數m，需分類討論

（1）若m＞1，在同一直角坐標系內作y＝x2和y=logmx的圖象，如圖，從圖上看出，在（0，）內， y＝x2的圖象在y=logmx的上面，所以x2

（2）若0

二、函數與方程思想

許多數量關系，都可以用思想予以認識，如加法運算，被加數和加數的改變，會引起和的變動，因此和就是加數和被加數的函數。同樣地，對于減、乘、除、乘方、開方等運算都可以獲得相應的結論。在代數中將代表“數”的文字“變動”，就可以看作“變量”，其關系式就是一個函數。函數思想是指函數的意義，函數的定義域、值域和函數性質及函數極值等。在這種思想指導下，可使許多數學問題的處理達到統一。

例2：半圓的直徑AB長為2r，半圓外的直線L與BA的延長線垂直，垂足為T，|AT|=2a(2a<)，半圓上有相異兩點|AT|=2a(2a<)，半圓上有相異兩點M、N，他們與直線L的距離|MP|、|NQ| 滿足==1， 求證|AM|+|AN|=|AB|。

這是一道全國數學聯賽題，采用函數思想，代數解法比原來給出的幾何方法證明的標準答案更加簡潔。

證明：如圖，MC⊥AB，垂足為 C，在 Rt△AMB中，有射影定理AM2=AC譇B。設|AM|=X，則|AC|=X-2a，則X2=(X-2a)?r是方程X2-2rX+4ar=0的一個根，同理|AN|也是方程X2-2rX+4ar=0的一個根，由韋達定理x1+x2=2r，∴|AM|+|AN|=|AB|。

三、轉化與化歸思想

面對一個數學問題，一般地是由未知向已知轉化；由復雜向簡單轉化，也可不同數學問題之間相互轉化，目的就是將問題的條件轉化為問題的結論。轉化思想就是使一種研究對象在一定條件轉化為另一種研究對象的方法，她是解決數學問題的一種重要思維方法，要順利實現轉化，就離不開對基本技能的熟練掌握。

例3：如圖，圓O的半徑為5，弦AB所對的圓心角為 ，動點C在優弧AB上，以C為圓心，作一圓與AB相切，設圓C的半徑為 X。求△ ABC沒有被圓C覆蓋部分的面積的極大值并問此面積極大時X的值。

分析：將陰影部分面積用X的代數式表示，把問題轉化成二次函數求解，就比單純用平面幾何方法簡單。

解：∠AOB=60O，OA=OB=5則AB=5S△ABC=?x=，又S扇形CDE==，則S陰影=S△ABC-S扇形CDE=+

∴當x=時，(S陰影)max=

四、數形結合思想

“數缺形時少直觀，形少數時難入微”（華羅庚語）有些數量關系，借助于形，可使抽象概念直觀化，復雜關系簡單化，隱晦條件明朗化。而數學是研究客觀世界的數量關系和空間形式的科學，數形結合思想方法當然地成為研究數學的重要方法，而為廣大師生樂于采用。

以上四類思想方法之間是互相滲透的，并有機的結合起來，除以上講到的一些數學思想外，還有許多，如邏輯規則，化歸思想等，都是人類在數學領域中長期社會實踐中總結的。這些思想在推動數學發展方面顯示了強有力的作用。數學思想是數學的靈魂，思想和方法是數學的重要基礎知識，也是學好數學的重要武器。只有在教學中不斷的展示思維的過程，才能把學生教活，在學生身上產生自求發展機制，只有強化思維的自求意識，才能在解決實際問題中表現的機智靈活，產生四通八達的思維境界。因此，我們只有讓數學思想、方法閃現在教學過程的始終，才能使我們的教學充滿活力。

（責任編輯 劉 紅）