追及問題之解題研究

張花麗

追及問題是運(yùn)動(dòng)學(xué)中比較常見的一類問題，此類問題的綜合性強(qiáng)，往往涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上物體的運(yùn)動(dòng)過程，每個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律又不盡相同，追及問題的解題方法較多，題目常常可以一題多解，從而培養(yǎng)考生的思維能力和解題能力.

一、追及問題的特點(diǎn)分析

1.追上與追不上的臨界條件

兩物體（追與被追）的速度相等常是追上、追不上及兩者距離有極值的臨界條件.

2.常見的兩類追及形式

（1）速度大者減速（如勻減速直線運(yùn)動(dòng)）追速度小者（如勻速運(yùn)動(dòng)）

①兩者速度相等時(shí)，若追者位移仍小于被追者位移與初始兩者間距之和，則永遠(yuǎn)追不上，此時(shí)兩者間距最小.

②兩者速度相等時(shí)，若追者位移恰等于被追者位移與初始兩者間距之和，則剛好追上，也是兩者避免碰撞的臨界條件.

③若相遇時(shí)追者速度仍大于被追者的速度，則被追者還能再一次與追者相遇，兩者速度相等時(shí)，兩者間距離有一個(gè)較大值.

（2）速度小者加速（如初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)）追速度大者（如勻速運(yùn)動(dòng)）.

①一定能追上，當(dāng)兩者速度相等時(shí)兩者間有最大距離.

②當(dāng)追者位移等于被追者位移與初始兩者間距之和時(shí)，后者追上前者即相遇.

二、追及問題的解題思路及方法

1.物理分析法

分析追及問題，其實(shí)質(zhì)就是分析兩物體在相同時(shí)間內(nèi)是否到達(dá)同一位置.所以，在分析追及問題時(shí)，要緊抓“一個(gè)圖三個(gè)關(guān)系式”，即過程示意圖，速度關(guān)系式、時(shí)間關(guān)系式和位移關(guān)系式，同時(shí)，要注意抓住題目中的關(guān)鍵字眼，充分挖掘題目中的隱含條件，如“剛好”、“恰好”、“最多”、“至少”等.解決追及問題的思路如下：

2，數(shù)學(xué)方法

所謂數(shù)學(xué)方法就是對(duì)物理問題的分析和處理運(yùn)用數(shù)學(xué)關(guān)系式來解決，解答追及問題常用的數(shù)學(xué)方法有不等式、二次函數(shù)的極值、一元二次方程的判別式等.

3.圖像法

圖像在中學(xué)物理解題中應(yīng)用十分廣泛，它能形象地表達(dá)物理規(guī)律，直觀地?cái)⑹鑫锢磉^程，并簡(jiǎn)潔地表示物理量間的各種關(guān)系.在追及問題中，一般根據(jù)兩物體的運(yùn)動(dòng)情況，畫出運(yùn)動(dòng)物體的位移—時(shí)間圖像或者速度—時(shí)間圖像，然后根據(jù)它們的運(yùn)動(dòng)關(guān)系解題.

4.相對(duì)運(yùn)動(dòng)法

我們研究物體的運(yùn)動(dòng)情況，通常選取地面作為參考系.有時(shí)為了研究方便，可以靈活選取參考系.當(dāng)選取其他物體作為參考系時(shí)，被研究的物體的運(yùn)動(dòng)就是相對(duì)這個(gè)物體的.

【例1】在水平軌道上有兩列火車A和B相距x，A車在后面做初速度為v、加速度大小為2a的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，而B車同時(shí)做初速度為零、加速度為a的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，兩車運(yùn)動(dòng)方向相同.要使兩車不相撞，則A車的初速度v應(yīng)滿足什么條件？

解析：解法一：（物理分析法）A、B車的運(yùn)動(dòng)過程（如圖），設(shè)經(jīng)過t時(shí)間兩車剛好不相撞，利用位移公式、速度公式求解.

對(duì)A車有

x=vt+×（-2a）×t

v=v+（-2a）×t

對(duì)B車有x=at

v=at

兩車有x=x-x

追上時(shí)，兩車不相撞的臨界條件是v=v

聯(lián)立以上各式解得v=

故要使兩車不相撞，A車的初速度v應(yīng)滿足的條件是v≤.

解法二：（數(shù)學(xué)分析法）利用判別式求解，由解法一可知兩車恰不相撞時(shí)，x=x+x，即vt+×（-2a）×t=x+at，整理得3at-2vt+2x=0，這是一個(gè)關(guān)于時(shí)間t的一元二次方程，當(dāng)根的判別式Δ=（2v）-4×3a×2x<0時(shí)，t無實(shí)數(shù)解，即兩車不相撞，所以要使兩車不相撞，A車的初速度v應(yīng)滿足的條件是v≤.

解法三：（圖像法）利用速度—時(shí)間圖像求解，先作A、B兩車的速度—時(shí)間圖像，其圖像如圖所示，設(shè)經(jīng)過t時(shí)間兩車剛好不相撞，則

對(duì)A車有v=v=v-2at

對(duì)B車有v=v=at

以上兩式聯(lián)立解得t=

經(jīng)t時(shí)間兩車發(fā)生的位移之差，即為原來兩車間的距離x，它可用圖中的陰影面積表示，由圖像可知x=v·t=v·=，所以要使兩車不相撞，A車的初速度v應(yīng)滿足的條件是v≤.

解法四：（相對(duì)運(yùn)動(dòng)法）選取B車為參考系，認(rèn)為B車靜止不動(dòng).A車相對(duì)B車做勻減速運(yùn)動(dòng)，A車的相對(duì)初速度為v，相對(duì)加速度為a′=-2a-a=-3a，相對(duì)位移為x，A車追上B車且剛好不相撞的條件是：A車相對(duì)B車的末速度v=0

由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式v-v=2as得：0-v=2（-3a）x

所以v=

即要使兩車不相撞，A車的初速度v應(yīng)滿足的條件是v≤.

小結(jié)：解法一注重對(duì)運(yùn)動(dòng)過程的分析，抓住兩物體間距離有極值時(shí)速度應(yīng)相等這一關(guān)鍵條件來求解；解法二由位移關(guān)系得到一元二次方程，然后利用根的判別式來確定方程中各系數(shù)間的關(guān)系，這也是中學(xué)物理中常用的數(shù)學(xué)方法；解法三通過圖像使兩物體的位移關(guān)系更直觀、簡(jiǎn)捷；解法四通過巧選參考系，使兩物體的運(yùn)動(dòng)關(guān)系變得簡(jiǎn)明，求解更快捷.

三、類追及問題的例析

狹義的追及問題指兩交通工具（如自行車、汽車等）在公路上相互追趕所涉及的追及、相遇問題，廣義的追及問題指兩運(yùn)動(dòng)物體在同一直線或封閉圖形上運(yùn)動(dòng)所涉及的追及、相遇問題.我們把兩運(yùn)動(dòng)物體發(fā)生相互作用所涉及運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律的問題都可以看成是類追及問題.這類問題可以用追及問題的解題思路和解題方法來解決.

【例2】在水平長(zhǎng)直的軌道上，有一長(zhǎng)度為L(zhǎng)=2m的平板車在外力控制下始終保持速度v=4m/s做勻速直線運(yùn)動(dòng).某時(shí)刻將一質(zhì)量為m=1kg的小滑塊輕放到車面的中點(diǎn)，已知滑塊與車面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.2（g=10m/s）.

（1）當(dāng)滑塊放到車面中點(diǎn)的同時(shí)對(duì)該滑塊施加一個(gè)與車運(yùn)動(dòng)方向相同的恒力F，要保證滑塊不從車的左端掉下，恒力F大小應(yīng)該滿足什么條件？

（2）在（1）的情況下，力F取最小值，要保證滑塊不從車上掉下，力F的作用時(shí)間應(yīng)該在什么范圍內(nèi)？

解析：（1）物理分析法

根據(jù)滑塊和平板車的運(yùn)動(dòng)情況，畫出它們的過程示意圖（一個(gè)草圖），如圖所示：

滑塊在恒力F和摩擦力f共同作用下以加速度a向右勻加速運(yùn)動(dòng)，平板車保持速度v做勻速直線運(yùn)動(dòng).滑塊恰好不從平板車的左端滑下來的條件是當(dāng)滑塊相對(duì)平板車向左運(yùn)動(dòng)到左端時(shí)速度剛好為v（速度關(guān)系）.

由牛頓第二定律得：F+μmg=ma

設(shè)滑塊經(jīng)過時(shí)間t（時(shí)間關(guān)系）剛好運(yùn)動(dòng)到平板車的左端，速度為v，則t=

滑塊的位移s=at

平板車在水平面上運(yùn)動(dòng)的位移s=vt

由圖可知：s-s=L/2（位移關(guān)系）

聯(lián)立以上各式解得：F=6N

要保證滑塊不從平板車的左端掉下，恒力F大小應(yīng)該滿足：F≥6N.

（2）解法一：圖像法

根據(jù)題意畫出滑塊做勻加速運(yùn)動(dòng)的速度—時(shí)間圖線（如圖線①），經(jīng)過時(shí)間t滑塊剛好運(yùn)動(dòng)到平板車的左端，其速度大小為v.在t時(shí)間內(nèi)平板車做勻速直線運(yùn)動(dòng)（如圖線②）.由速度—時(shí)間圖像的物理意義可知，滑塊經(jīng)過的位移大小等于△OBC的面積，而平板車經(jīng)過的位移大小等于矩形OABC的面積，而△OAB面積的大小為L(zhǎng)/2.

由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和圖像的幾何關(guān)系可得：t=0.5s（解略）

滑塊運(yùn)動(dòng)到平板車左端后，在水平恒力F的作用下，以加速度大小a向右勻加速運(yùn)動(dòng)（如圖線③），經(jīng)過一段時(shí)間t后撤去F，滑塊在摩擦力作用下以加速度大小a向右勻減速運(yùn)動(dòng)（如圖線④），滑到平板車右端的速度為v，則此情況下，F(xiàn)的作用時(shí)間最長(zhǎng)，平板車一直做勻速運(yùn)動(dòng)（如圖線⑤）.由速度—時(shí)間圖像的物理意義可知，滑塊經(jīng)過的位移大小等于多邊形OADBC的面積，而平板車經(jīng)過的位移大小等于矩形OABC的面積，而△DAB面積的大小為L(zhǎng).

根據(jù)牛頓第二定律有：F-μmg=ma，μmg=ma

由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和圖像的幾何關(guān)系可得：t=s=0.58s（解略）

力F=6N，要保證滑塊不從平板車上掉下，力F的作用時(shí)間t應(yīng)該取的范圍為：t

即0.5s

解法二：相對(duì)運(yùn)動(dòng)法

選取平板車作為參考系，要使滑塊不從平板車的左端掉下來：

滑塊相對(duì)平板車從車面中點(diǎn)開始向左做勻減速運(yùn)動(dòng)，滑塊的相對(duì)初速度為-v，相對(duì)加速度為a，相對(duì)位移為L(zhǎng)/2，滑塊剛好不從平板車的左端掉下來的速度條件是：滑塊的相對(duì)末速度v=0

由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式：v=v+at

所以t==0.5s

選取平板車作為參考系，要使滑塊不從平板車的右端掉下來：

滑塊相對(duì)平板車從左端開始向右運(yùn)動(dòng)，滑塊的相對(duì)初速度為0，先做相對(duì)加速度為a的勻加速運(yùn)動(dòng)，達(dá)到最大相對(duì)速度v，然后開始做相對(duì)加速度為a的勻減速運(yùn)動(dòng)，滑塊剛好不從平板車的右端掉下來的速度條件是：滑塊的相對(duì)末速度v=0

由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得：+=L，所以v=m/s

則t==s=0.58s

綜上所述，要保證滑塊不從平板車上掉下，力F的作用時(shí)間t應(yīng)該取的范圍為：t

即0.5s

發(fā)散類比：（1）水平傳送帶.傳送帶也可看做是受力做勻速直線運(yùn)動(dòng)的木板，如圖（a）所示；

（2）直桿在豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，環(huán)套在粗糙的豎直直桿上，直桿和環(huán)套在豎直方向運(yùn)動(dòng)，直桿可看做木板，如圖（b）所示.

學(xué)習(xí)貴在舉一反三，通過一個(gè)問題的透徹分析，掌握同類及相近問題的特點(diǎn)、思路和方法，只有這樣不斷感悟、總結(jié)，解題能力才能逐漸提高.