函數奇偶性概念教學的有效性

馬麗拉 趙云河

摘要: 函數的奇偶性是函數的一個重要性質,正確地理解函數的奇偶性概念及其判別,并能靈活應用有著重要作用.文章從函數的定義域、函數的變形、含參數函數及零值函數等方面對函數奇偶性的判定中應注意的問題進行深入分析,從而達到提高概念教學有效性的教學目標.

關鍵詞: 函數奇偶性概念教學有效性

函數奇偶性的概念,現行普通高中課程標準實驗教科書是這樣定義的:

如果對于函數f(x)的定義域內的任意x,都有f(-x)=-f(x),那么函數f(x)就叫做奇函數;如果對于函數f(x)的定義域內的任意x,都有f(-x)=f(x),那么函數f(x)就叫做偶函數.[1]

函數的奇偶性從定義上看比較簡單,但其內容及變化卻非常豐富,深入挖掘函數的奇偶性概念及其判別的內涵,并能靈活應用,對函數作圖、性質分析等有著重要的作用,是提高概念教學有效性的重要途徑.

根據現行中學數學教學大綱的要求,學生必須了解函數奇偶性的定義,掌握其常用的判定方法,但由于其定義較簡單,而教材又沒有作更多的分析,在具體進行函數奇偶性的判定時,出現了一些似是而非的問題和錯誤,在教學中有必要對一些應注意的問題作進一步的分析和說明.

一、判斷函數的奇偶性應注意定義域

教材在進行函數奇偶性的定義時,完全沒有涉及函數定義域的具體情況,按這樣的定義不加解釋地進行教學,就會使學生形成不準確的概念,認為只要形式上有f(-x)=-f(x)就是奇函數,有f(-x)=f(x)就是偶函數,而與函數的定義域沒任何關系.研究函數的性質必須以函數的定義域為基礎,離開定義域去研究所謂函數的性質,往往會犯錯誤.

事實上,設函數f(x)的定義域為D,若f(x)為奇函數或偶函數,則±x∈D必同時成立,說明D是關于原點對稱的,即函數為奇函數或偶函數的必要條件是它的定義域關于原點對稱.

例1:判定下列函數的奇偶性,并說明理由.

(1)f(x)=x■+3cosx(-2≤x≤3);(2)f(x)=■.

解:(1)因為f(-x)=(-x)■+3cos(-x)=x■+3cosx=f(x),所以f(x)是偶函數.

(2)因為f(-x)=■=■≠f(x)(或f(-x)),所以f(x)為非奇非偶函數.

但以上兩解都錯了.因為(1)中f(x)的定義域[-2,3]關于原點不對稱,所以f(x)為非奇非偶函數,也可從圖像上可直觀地看出它的圖像不是關于y軸對稱的.而(2)中若先求出定義域[-1,0)∪(0,1],則x+2>0,于是f(x)=■=■,則f(-x)=■=-■=-f(x),故f(x)為奇函數.

因此,在教學中務必使學生明確:(1)如果函數f(x)的定義域不是關于坐標原點對稱,那么f(x)肯定不會是奇函數或偶函數,即使從形式上看,等式f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)成立.(2)如果函數f(x)的定義域是關于坐標原點對稱,那么才用等式f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)進行奇偶性的判定.(3)如果已經知道函數f(x)是奇函數或偶函數,那么它的定義域一定是關于坐標原點對稱的.

二、判斷函數奇偶性時應注意f(-x)的變形

判斷函數的奇偶性時,在定義域關于原點對稱的基礎上,我們用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)來確定函數f(x)奇偶性.但在有些時候,表面上f(-x)并不等于-f(x)或f(x),這時不應馬上得出該函數既不是奇函數又不是偶函數的結論,而應利用一定技巧進行適當的變形,再得出最后判定結果.

例2:判斷函數f(x)=ln(x+■)的奇偶性.

解:函數的定義域為(-∞,+∞),定義域關于原點對稱.有

f(-x)=ln[(-x)+■]=ln(■-x)

由于f(-x)不等于-f(x)或f(x),故f(x)既不是奇函數又不是偶函數.

但事實上該結論是錯誤的,因為有

f(-x)=ln(■-x)=ln[■]=ln(■-x)■=-ln(■-x)

所以f(x)是奇函數.

如果上式不對第二步進行變形,往往又會得出錯誤結論.

三、判斷函數的奇偶性應注意f(x)=0的情形

例3:判定函數f(x)=■的奇偶性.

解:先求定義域.因為lgcosx≥0,即cosx≥1;又因為-1≤cosx≤1,所以cosx=1.故函數的定義域為x=2kπ(k∈Z),即定義域所對應的點集關于原點對稱.又因為

f(-x)=■=■=f(x)

所以f(x)為偶函數.

上述解法看上去似乎沒有什么問題,定義域也關于原點對稱,函數也滿足等式f(-x)=f(x),但是當x=2kπ(k∈Z)時,f(x)=0,此時上述解法就有問題了,因為有:既是奇函數又是偶函數的單值函數必為零值函數;反之,定義域關于原點對稱的零值函數為既是奇函數又是偶函數.

由此可見,例3中的函數f(x)實際上是零值函數,因而它既是奇函數又是偶函數.

四、判斷含參數函數的奇偶性應注意參數的分類

當函數中含有參數時,一般可對參數進行分類討論,應該注意f(x)=0時參數滿足什么條件,即什么條件下f(x)=0.

例4:判斷函數f(x)=kcosx(k為參數)的奇偶性.

解:函數的定義域為x∈R.當k=0時,f(x)=0,故f(x)既是奇函數又是偶函數;當k≠0時,f(-x)=kcos(-x)=kcosx=f(x),故f(x)是偶函數.

綜上所述,在判斷函數f(x)的奇偶性時,應按下面步驟進行:(1)考慮函數f(x)的定義域,看定義域所對應的點集是否關于原點對稱;(2)考慮函數f(x)是否為零值函數;(3)考慮函數f(-x)是否等于-f(x)或f(x).

遵循上述步驟就能正確判斷函數的奇偶性,這在教學中應引起重視.

參考文獻:

[1]課程教材研究所等.普通高中課程標準實驗教科書數學(必修1)[M].北京:人民教育出版社,2007.