一題多解,激發創新思維

郭妞萍

摘要: 本文對一道不定積分的多種求解方法進行了探討.從多種角度,運用不同的基本方法來求解同一道題,對于豐富初學者的解題經驗十分重要.希望本文能對學生創新思維及發散思維的培養有所幫助,從而提高學生對高等數學的興趣和解決實際問題的能力.

關鍵詞: 不定積分創新思維發散思維一題多解

求解不定積分的方法有公式法,換元法,分部積分法,倒代換,等等,方法多,靈活性強.在同濟大學的《高等數學》中,有這樣一道不定積分試題I=?蘩■dx,現給出此題的多種解法,方便讀者體會各種不同積分方法的優點和思維過程.對同一例題,如果從不同的角度去分析,采用不同的處理方法,則可得到不同的解法,通過比較,可以選擇最優的解法,這對培養學生的分析問題、解決問題的能力有極大的好處.

解法1:簡單無理函數積分方法

I=?蘩■dx

令■=t,則x=■,dx=-■dt,因此

I=?蘩■=?蘩-■dt=-■t+C=-■■+C

解法2:簡單無理函數積分方法

I=?蘩■dx

令■=t,則■=t■,3t■dt=-■dx,因此

I=-■?蘩■dx=-■?蘩■·■dx=-■?蘩■=-■t+C=-■■+C

解法3:第一類換元方法(巧妙利用(■)′=-■)

I=?蘩■dx=?蘩■dx

=-■?蘩■dx=-■?蘩■d(■)

=-■■+C

解法4:第一類換元法

I=?蘩■dx=-?蘩■=-■?蘩■d(■+1)=-■■+C

解法5:第二類換元方法

令x-1=t,dx=dt,則

I=?蘩■=?蘩■=?蘩■

=-■?蘩■=-■■+C=-■■+C

解法6:第二類換元方法

令x+1=t,dx=dt,則

I=?蘩■=?蘩■=?蘩■=■?蘩■=-■■+C=-■■+C

解法7:倒代換

令x-1=■,dx=-■dt,則

I=?蘩■=?蘩■=-■?蘩■=-■■+C=-■■+C

解法8:倒代換

令x+1=■,dx=-■dt,則

I=?蘩■=?蘩■=?蘩■

=■?蘩■

=-■■+C=-■■+C

以上求解方法說明,求不定積分不必拘泥于單一的方法,可根據實際情況選擇最佳的積分方法,達到最好的計算效果.一題多解體現了數學的靈活性和實用性,有利于提高學生分析、解決問題的能力.

參考文獻:

[1]同濟大學應用數學系.高等數學(上冊)[M].北京:高等教育出版社,2002:182-222.

[2]李治飛,陳清江.一道積分不等式的多種證法[J].高等數學研究,2011,14(1):53-55.