離散傅里葉級數(shù)的抽樣定理解釋

李相國，梁義濤，李紅巖

(河南工業(yè)大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，河南鄭州 450001)

離散傅里葉級數(shù)DFS及離散傅里葉變換DFT是“數(shù)字信號處理”課程中非常重要的內(nèi)容之一。而且，離散周期信號的DFS是有限長(非周期)數(shù)字信號通過DFT計算離散譜的理論基礎(chǔ)。因此理解DFS是理解DFT的前提與基礎(chǔ)。本文分析了幾種被廣泛使用的國內(nèi)外優(yōu)秀教材及參考書，學(xué)習(xí)并比較了它們對DFS及DFT的處理方法。在學(xué)習(xí)借鑒基礎(chǔ)上，從頻域采樣角度及采樣定理的基本思路出發(fā)，推導(dǎo)了頻域采樣需要滿足的條件，還給出了類似于頻譜周期延拓的圖形表達(dá)方式，它比公式表達(dá)更直觀，有助于學(xué)生對DFS及DFT的感性認(rèn)識。

1 現(xiàn)有的DFS定義

從數(shù)字信號處理的應(yīng)用角度，一般面對的都是有限長(非周期)信號，因此，在引入離散周期信號時，普遍采用人為構(gòu)造的方式。這樣可以和已學(xué)知識建立聯(lián)系以便更容易接受，也為進(jìn)一步理解離散非周期信號的DFT做好了鋪墊。

1.1 直接定義離散周期信號

在介紹DFS概念時，一些教材采用直接定義離散周期信號的方式［1-3］。這種方式偏重于數(shù)學(xué)推導(dǎo)，下面以著作［1］為例進(jìn)行介紹。

在此基礎(chǔ)上，給出了其傅里葉級數(shù)的表達(dá)式:

1.2 連續(xù)周期信號的時域采樣

1.3 離散非周期信號的頻域采樣

在文獻(xiàn)［5］和［6］中，都是從離散非周期信號的連續(xù)周期譜的采樣開始。但其后續(xù)處理方式并不一樣。在文獻(xiàn)［5］中采用了如下處理方式。

文獻(xiàn)［6］中的頻域采樣在一個周期內(nèi)進(jìn)行，得到的是一個有限長的(非周期)離散譜，因此，其沒有使用離散周期信號以及DFS，而是直接給出了DFT表達(dá)式。

2 基于頻域采樣法的DFS定義

我們注意到，文獻(xiàn)［7］從離散時間信號的卷積定理角度解釋頻域采樣。受到該思路以及傅里葉變換性質(zhì)中對偶性的啟發(fā)，本文沿著采樣定理的思路，證明頻域采樣需要滿足的條件，我們在最后還給出圖形解釋。

2.1 離散非周期信號頻譜的“頻譜”

因此，上述表達(dá)式可簡化為Y(jm)=x(-m)。也就是說，一個離散時間信號x(n)的頻譜X(ejω)的頻譜Y(jm)是其時域表達(dá)式的反轉(zhuǎn)x(－m)，如圖1所示。

圖1 離散時間信號頻域采樣的采樣關(guān)系示意圖

2.2 DFS的采樣定理解釋

參照 Nyquist采樣定理的思路［4］，接下來證明對連續(xù)信號X(ejω)進(jìn)行頻譜無失真周期采樣需要滿足的條件。

設(shè)以ωs為周期對X(ejω)進(jìn)行采樣得到離散信號Xs(jkωs)，k取全部整數(shù)。這可解釋為X(ejω)與單位沖激串函數(shù)p(ω)的相乘，即

從上式可知，對X(ejω)進(jìn)行周期采樣得到離散信號Xs(jkωs)，其頻譜表達(dá)式等于x(n)反轉(zhuǎn)后的周期延拓，延拓周期等于Ω's，如圖1中所示。

當(dāng)x(n)是長度為N的有限長信號時，只要滿足Ω's＞N－1就可避免頻譜混疊，可以實現(xiàn)頻譜無失真的周期采樣。我們?nèi)ˇ?s的值為滿足條件的最小整數(shù)Ω's=N，則時域采樣周期ωs=2π/N。此時的Xs(jkωs)也是周期的，簡化記作(k):

上面我們完成了從采樣定理角度對頻域采樣的圖形化解釋與推導(dǎo)。

3 結(jié)語

本文從頻域采樣與采樣定理的角度出發(fā)解釋DFS，得出了頻域無失真采樣需要滿足的條件，并給出了類似于頻譜周期延拓的圖形表達(dá)方式。該方法的優(yōu)點是其圖形表示更直觀，有助于增加感性認(rèn)識;其缺點是數(shù)學(xué)推導(dǎo)比較繁瑣，容易混淆。

形象化教學(xué)是提高教學(xué)效果的一種有效方法，因此，把本文的圖形化方法作為輔助手段，配合前述各種方法使用，期望能夠提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣及教學(xué)效果。

［1］Oppenheim A.V.，Schafer R.W.，Buck J.R.Discrete-Time Signal Processing［M］.2nd ed.Prentice Hall，1999

［2］Antoniou A.Digital Signal Processing:Signals，Systems，and Filters［M］.McGraw-Hill，2005

［3］程佩青.數(shù)字信號處理教程［M］.第二版.北京:清華大學(xué)出版社，2002

［4］胡廣書.數(shù)字信號處理導(dǎo)論［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2005

［5］Proakis J.G.，Manolakis D.K.Digital Signal Processing:Principles，Algorithms and Applications［M］.3rd ed.Prentice Hall，1995

［6］Mitra S.K.Digital Signal Processing:A Computer-Based Approach［M］.2nd ed.McGraw-Hill，2001

［7］Diniz P.S.R.，Silva E A.B.D.，Netto S.L.Digital Signal Processing:System Analysis and Design［M］.2nd ed.Cambridge University Press，2010