基于相似性的電路力學分析方法

楊 光，楊 碩，倪守誠，田社平

(上海交通大學電子信息學院，上海 200240)

力學反映了最為普遍的自然規律，具有良好的自洽性，特別是拉格朗目(Lagrange)和哈密頓(Hamilton)等人建立起的基于廣義力學量的分析力學，可以實現基于結構的相似性有效的理論移植。文獻［1］已經給出了力學理論向幾何光學的移植，其有效性業已彰現。由于電路模型本質上具有的力學性和形式上與力學理論的相似性，我們將基于集中參數電路基本定理，在集中參數電路中建立起相似于力學的數學模型，從而實現如下的電路分析模式:廣義力學模型→電路的力學模型→電路分析方法。這種分析模式將力學理論移植到電路分析中來，提高了理論研究的效率，拓寬了研究思路，對于“基礎電路理論”課程的教學頗具意義［2］。

1 廣義力學模型

1.1 動力學基本原理和運動方程

動力學基本原理又稱達朗貝爾(D'Alembert)原理，是廣義力學模型的基礎。在自由度為n的力學模型中，達朗貝爾原理表述如下:

式中，qα為廣義坐標，互相獨立;δqα表示qα的變分;Xα為包含對應qα的所有作用力的總力?？紤]到諸δqα互相獨立，由式(1)立即可得

上式稱為系統的運動方程。式中諸Qk反映了關于qα的各種作用。事實上，如果在一個系統中能夠定義滿足式(1)的qα和Xα，便可以在這個系統中建立起廣義力學模型，用力學方法來對系統的演化規律進行研究［3］。

1.2 拉格朗日方程

對于任意給出的運動方程(1)，一般并非都能定義滿足式(4)的拉格朗日函數［4］。

式中，Nα稱為廣義非勢力，是廣義力中不能由泛函微商表示的成分。

在系統中建立廣義力學模型時，可先通過式(1)進行可行性驗證;模型建立后，可通過對式(5)進行分析，確定系統中運動方程的形式，進而確定系統演化所對應的力學分析方法。此外，我們需要指出，以上運算中微分運算的結果亦可包含廣義函數，這對應著沖擊與碰撞問題。

2 線性非時變電路力學模型的建立

2.1 廣義坐標的選取

就本質而言，集中電路參數模型要求將電場和磁場分開［2］，將耗散元件與供能元件分開，即電場和電荷積累只存在于儲存電場能的元件中。磁場只存在于儲存磁場能的元件中，耗散只存在于阻尼(電阻)元件中，外勢場僅由電源決定。

根據上節所述，我們先選取廣義坐標，嘗試在電路中建立力學模型。

考慮到集中參數電路中的同一支路里，電流處處相等且僅與儲存電能的元件里積累的電荷相關，電荷只受接入支路中的電源的作用。同時由于電源都是通過在電路中形成外加勢場對電路中電子進行加速，從而實現對電路的供能，這里約定對含有電流源的電路均作戴維南等效。

由電路理論可知，同一支路上元件中電流是互不獨立的，它們服從KCL約束，對有N個節點，B條支路的電路，在每一節點處有

式(6)是完整約束［1］。此時互相獨立的電流有n=B-N+1個，且n為電路中的獨立回路數。考慮到電流的定義i=dq/dt，可以選取n個互相獨立的回路電流i1，i2，…，in為對應力學的廣義速度，與之對應的電荷量q1，q2，…，qn為對應力學的廣義坐標。

2.2 電路的力學原理形式

如上所述，對應力學的廣義坐標其量綱為電荷的量綱，即庫侖。對照式(1)可知，Xα應具有電壓的量綱。于是，將式(1)改寫為

如果取Uα為獨立回路一周的電壓代數和，則由KVL可知

因此力學的式(1)和電路的式(8)的相似性得到了確證，這表明在電路中建立廣義力學模型是可行的。

考慮到Uα(α =1，2，…，n)是回路中諸元件兩端電壓的代數和，按元件的性質將式(9)改寫為

式中，UEα、UMα、UNα和USα分別為回路中所有儲電能元件兩端電壓代數和、所有儲磁能元件電壓代數和、所有耗散元件兩端的電壓代數和以及所有電源兩端的電壓代數和。需注意，求和時注意參考方向應取一致［2］。

為了更方便簡潔地探究電路的力學對應，考慮最簡單的非時變線性模型。此時，儲電能元件為線性非時變電容。其兩端電壓為

式中，qα為諸元件的電荷積累，Cα為串聯電容值。

儲磁能元件為線性非時變電感，其兩端電壓為

式中，Iβ為產生相應磁場能的電流，Lαβ為串聯等效電感矩陣的矩陣元。

電源為線性非時變電源，其兩端電壓可表示為

2.3 電學量的力學形式對應

從上面的討論我們初步得到了電學量的兩個力學形式，即式(18)和式(19)。除此之外，有一個簡單的事實是

根據力學理論，動量是動能對相應速度的微商，則相應的電學理論，便有

上式是關于Iα的自感磁通與互感磁通之和。在力學理論中，動量對時間的微商描述了物體的受力情況，相應地將電路的感性元件視為受力物體，其受力情況如下:

這是感性元件的感應電動勢。

將感性元件視為力學的受力質點，繼續來研究作用外力的來源。在我們討論的上述電路系統中，外力只能是由勢能產生的保守力和與電阻對應的耗散力，即

這正是式(10)的結果，進一步表明了電路力學模型的正確性，即確實可以將電壓看作廣義力來處理。值得一提的是，上述方法均是通過導出力學牛頓運動方程的方法來求解的，而與之等價的則是正則方程。為此，定義哈密頓量為

上式中 Λα(pα)為非正則余項［1］，可由實際計算得出。式(29)的意義將在下面的討論中體現。

綜上所述，線性非時變電路對應的力學模型建立起來了。由于其對應的是線性力學系統，其運動方程將是二階線性微分方程(組)。在線性動力學中，物體運動的軌跡是唯一的［1］，因此，線性非時變電路的解也具有唯一性。

3 算例

我們現以一個簡單的二階線性電路例子來說明上述分析方法。如圖1所示為US激勵下的RLC并聯電路。

圖1 RLC并聯電路

我們可以采用如下的分析步驟:

(1)確定電路的自由度:電路的獨立網孔數為2，電路的自由度為2。

(2)選取如圖1的廣義坐標:分別選取電壓源—電阻—電感回路和電感—電容回路，含這兩個網孔的網孔電荷量q1和q2為廣義坐標。

(3)確定拉格朗日量的形式:注意廣義速度即電流I1和I2流經電感發生全耦合，電流取圖1所示的順時針參考方向，則有

設iL=I1－I2為電感中電流(參考方向取向下)，uC=q2/C為電容兩端電壓(參考方向取上正下負)，則上式可化為

這與列寫兩個回路的KVL方程結果完全一致。

應用力學模型方法進行電路的分析時，對于符合［式(16)～式(19)］的線性非時變模型電路，我們可以直接列出［式(25)］的拉格朗日方程，從而得到電路力學模型滿足的運動方程。然后再進行求解，關于這一點，文獻［5］－［8］已經給出了幾個有效的算例。需要指出，和力學研究方法相似，電路力學模型著眼于全過程而不區分暫態與穩態，這同傳統電路研究方法略有差異。

4 結語

本文指出，從數學上可以發現，線性非時變集中參數電路的力學模型與經典質點動力學模型一一對應關系，如表1所示。這表明，線性非時變電路可借助存在速度反比阻尼的有勢質點系模型進行研究。

表1 電路的力學模型與經典質點動力學模型

本文初步探討了電路系統和力學系統的相似性，討論了廣義力學模型在線性非時變電路分析中的應用。通過定義電路中的廣義坐標(電荷)和廣義速度(電流)，可以為電路建立嚴格的廣義力學模型，即拉格朗日方程組。通過該方程組可推導出電路分析的方程，其結果與應用 KCL、KVL和元件VCR得到的方程完全一致。我們可以受此啟發，聯想:更復雜的高階或非線性電路，也一定對應著更加復雜的力學模型。而由于電路系統自身約束具有的完整性，對于任意的電路情形，我們都可以在完整動力學框架下進行探討。我們對于相似性的討論，可以有助于在電路教學中開闊電路分析方法的視野。

［1］張啟仁.經典力學［M］.北京:科學出版社，2002

［2］陳洪亮，張峰，田社平.電路基礎［M］.北京:高等教育出版社，2007

［3］老大中.變分法基礎［M］.北京:國防工業出版社，2004

［4］張耀良，劉錫錄.關于Lagrange力學逆問題的探討［J］.哈爾濱:哈爾濱船舶工程學院學報，1993，vol.14(1):102 ～109

［5］趙仁.拉格朗日方法在電路分析中的運用［J］.昆明:云南民族學院學報(自然科學版)，1991，1:vol.8(1):11 ～13，20

［6］劉喜斌.電路中的拉格朗日方程及其應用［J］.北京:工科物理，1998，vol.8(2):4 ～6

［7］姚仲瑜.用拉格朗日方程研究RLC暫態的過程，桂林:廣西大學學報(自然科學版)，2001，6，vol.26(2):69 ～73

［8］史玉昌.求解電路系統的另一途徑，北京:大學物理，1990，vol.9(12):25 ～ 26