關于卷積的運算規則及存在性

王曉翔，黃 靜，梁忞飛

(合肥電子工程學院，安徽合肥 230037)

在“信號與系統”課程中，圖解法是進行卷積運算的常用方法，然而在很多場合下直接用公式計算會更加便利，最關鍵的是積分上、下限的確定。我們發現，學生通常對時限信號和因果信號卷積較為熟悉，而對于其它情況下的卷積則不盡然，或者說沒有概括性的了解。此外，關于卷積的存在問題書上也很少論及。本文對卷積在各種情況下的運算規則進行了歸納，并探討了卷積的存在性以及它對卷積性質的影響，以期對學生更好地學習“信號與系統”課程提供幫助。

1 卷積的運算規則及存在性

1.1 常義函數卷積一定存在的情況

函數卷積的定義式為

兩常義函數f1(t)與f2(t)滿足以下兩種情形之一時，卷積一定存在［1］:①兩信號都是有始信號或有終信號或時限信號;②兩信號中至少有一個是時限信號。

對于兩時限信號卷積，教科書上均有詳述，這里不再贅述。下面就其它幾種情形的卷積運算規則進行歸納。

1)兩有始信號卷積

1.2 常義函數卷積不一定存在的情況

值得說明的是，前述文中提到的兩常義函數卷積存在的條件(1)或(2)是充分條件而非必要條件。也就是說，當不滿足這兩個條件之一時，卷積可能存在也可能不存在。

兩常義函數f1(t)與f2(t)滿足以下情形之一時卷積不一定存在:①有始信號與有終信號;②有始信號與無時限信號;③有終信號與無時限信號;④兩無時限信號。現就幾種在假設卷積存在的運算規則進行歸納。

1)有始信號與有終信號卷積

上式成立的前提是每項的卷積都存在，此時各卷積計算可按前述方法進行。

2 卷積存在性對卷積性質的影響

2.1 卷積的分配律

卷積的分配律為

2.2 卷積的結合律

卷積的結合律為

該式成立的條件是f1(t)、f2(t)和f3(t)中的任意兩者之間的卷積均存在［2］，否則結合律不成立。如f1(t)=1，f2(t)=δ'(t)，f3(t)=u(t)，則有

可見此時卷積的結合律不成立，究其原因是由于卷積f1(t)*f3(t)=1*u(t)不存在的緣故。

2.3 卷積的導數

卷積的導數是指

該式成立的條件是f1(t)*f2(t)存在。否則上式不成立。如卷積1*u(t)是不存在的，雖然卷積(1)'*u(t)=0和卷積1*u'(t)=1*δ(t)=1都存在，但是式(21)是不成立的。即:

2.4 卷積的積分

卷積的積分是指

該式成立的條件是f1(t)*f2(t)存在，而且有:［f1(t)*f2(t)］*u(t)滿足結合律［3］，否則上式不成立。如f1(t)=1，f2(t)= δ'(t)，則有:［1* δ'(t)］(－1)=0，［1］(－1)* δ'(t)不存在，但是 1* ［δ'(t)］(－1)=1*δ(t)=1，可見此時卷積的積分式不成立，即有

造成上述結果的原因是:雖然f1(t)*f2(t)=1*δ'(t)=0存在，但根據式(19)和式(20)可知:［f1(t)*f2(t)］*u(t)=［1* δ'(t)］*u(t)不滿足結合律。

3 結語

本文對連續信號卷積的運算規則進行了歸納，事實上，得出的結論可以很方便地推廣到離散信號卷積中去，只需將連續變量換成離散變量、積分換成求和即可。此外，關于廣義函數卷積存在的條件，其詳盡內容和證明可參見文獻［3］。

卷積的分配律、結合律等是我們熟悉的卷積性質，然而它們成立的條件與卷積的存在性密切相關，盲目使用會產生錯誤的結果，這一點應引起重視。

［1］李化圖.關于卷積及其存在性的探討［J］.重慶:郵電學院學報，1999(1):69-72

［2］王松林，王輝.“信號與系統”課程時域分析中的幾個問題.［J］.南京:電氣電子教學學報，2008(6):16-17

［3］劉星橋.電工電子用廣義函數.北京:電子工業出版社，2000