SVPWM控制中的三角恒等式

朱學貴，付志紅，蘇向豐，張 謙

(重慶大學電氣工程學院，重慶 400044)

0 引言

脈寬調制(PWM)整流器網側電流為正弦波，有較快的動態響應，可實現電能雙向傳輸，可用于取代常規的全控整流環節。其中空間電壓矢量PWM(SVPWM)控制技術動態響應快，直流電壓利用率高，可實現單位功率因數［1］。為此，國內外學者對SVPWM控制技術進行了大量的研究，并撰寫了專著［2-5］，為“電力電子技術”的教學和研究工作提供了有益幫助。但是，由于SVPWM控制技術涉及電能變換、坐標變換、矢量變換和解耦控制等多個領域，對數學理論和實踐經驗的要求都很高，至今還未見針對SVPWM控制技術的完整論述。

SVPWM控制主要包括數學模型的構建、坐標變換、解耦控制和控制算法實現等多個難點。筆者在SVPWM控制技術的研究和應用中，總結出了三個容易被忽略的三角恒等式，對于三相整流器數學模型構建、d-q坐標變換及空間電壓矢量合成的理解和實現提供幫助。

本文首先給出這三個恒等式，因正弦與余弦有對偶關系，本文只證明余弦恒等式，即

這里，恒等式(4)容易證明，本文直接引用。

1 Park變換中的恒等式

1.1 恒等式(1)的證明

Park變換時，可以利用恒等式(1)可以實現三相靜止分量到兩相旋轉分量的變換。

根據積化和差公式:

因此，恒等式(1)得證。

1.2 恒等式(1)的應用

設三相電壓源的表達式為

根據廣泛采用的恒磁勢變換原則，將三相電壓按圖1所示投影到d-q坐標上，可得到

圖1 Park變換坐標系

由恒等式(1)，得到

現設 θ=ωt+θ0，α =ωt+α0，并將 Park變換列于表1。

由表1發現，當三相系統中的對稱倍頻(2倍頻)交流和直流經過Park變換后，得到的d軸和q軸分量為基頻交流;當三相系統中的基頻交流經Park變換后，得到的d軸和q軸分量為直流。因此，d-q變換的目的是把一個時變系統變為時不變系統，從而簡化控制系統的設計。當期望整流器的高功率因數整流時，也就是說將有功和無功區分開來，可以采用d-q變換。這里的d軸代表有功分類，而q軸代表無功分量。

表1 Park變換表

2 構建整流器數學模型的恒等式

構建整流器數學模型時利用恒等式(2)可將開關函數由三相靜止分量轉換為兩相旋轉分量。

2.1 恒等式(2)的證明

2.2 恒等式(2)的應用

以三相交流側電感電流和直流側電容電壓為狀態變量，可以得到三相整流器的數學模型:

下面考慮狀態變量uDC的狀態方程的右邊。

由于d-q兩軸垂直，所以這兩個正交軸的量相乘時為0，于是有

3 空間電壓矢量合成中的恒等式

3.1 恒等式(3)的證明

利用恒等式(3)可將空間向量中的三相正弦電壓合成為等效的旋轉電壓。

將a=exp(j2π/3)代入恒等式(3)左邊，并根據歐拉公式exp(jA)=cosA+jsinA，則恒等式(3)左邊(略去因子2/3)，便得

3.2 恒等式(3)的應用

SVPWM控制策略是依據變流器空間電壓(電流)矢量切換來控制變流器的一種思路新穎的控制策略。SVPWM技術最初是應用在電機調速領域的，后來擴展成為一種在整流/逆變領域應用廣泛的PWM 方法［5］。

上式Umexp(jωt)即代表一個旋轉相量，對應于復平面上以等角速度ω按逆時針方向旋轉的一個旋轉矢量。因此，利用式(17)可以將三相正弦波電壓在電壓空間向量中合成一個等效的旋轉電壓，其旋轉速度是輸入電源角頻率。

定義網側空間電壓矢量是SVPWM控制的一個重要步驟，對于等效合成后的任意一個空間電壓矢量Uref可進一步用相應扇區邊界兩個相鄰的非零矢量和兩個零矢量來表示，使三相橋的輸入為等效的正弦波［6］。因此，采用SVPWM控制策略時經歷了空間電壓矢量的合成和再分解兩個過程。

4 結語

本文給出了SVPWM控制中采用的三個三角恒等式，并進行了證明和應用說明。為“電力電子技術”課程的師生在教學中對于三相整流器數學模型構建、Park坐標變換及空間電壓矢量合成等方面的概念理解、公式推導和控制策略的實現提供幫助。

［1］付志紅，董玉璽，朱學貴等.數字鎖相環與濾波技術在PWM整流器中的應用［J］.重慶:重慶大學學報，2010，33(7):35-41

［2］王萬寶，付志紅，蘇向豐等.三相電壓型 SVPWM整流器離散域控制模型的構建［J］.北京:系統仿真學報，2010，22(1):222-226

［3］袁登科，徐國卿，張舟云.一種新型空間電壓矢量脈寬調制方法［J］.上海:同濟大學學報(自然科學版)，2008，36(12):1702-1706

［4］Mirafzal，B.;Saghaleini，M.;Kaviani，A.K.;An SVPWMBased Switching Pattern for Stand-Alone and Grid-Connected Three-Phase Single-Stage Boost Inverters IEEE Transactions on Power Electronics，2011，26(4):1102-1111

［5］張崇巍，張興.PWM整流器及其控制［M］.北京:機械工業出版社，2003

［6］王萬寶.三相電壓型SVPWM整流器仿真研究［D］.重慶，重慶大學，2009