GPS高程擬合的應用＊

陳蘭偉，獨知行，張忠良，馬立斌

（1.山東科技大學 測繪科學與工程學院，山東 青島266590；2.中鐵二十局集團第四工程有限公司，山東 青島266061）

0 引 言

隨著GPS定位技術的廣泛應用，人們已經能夠在10－6～10－9的精度量級上簡捷而經濟地獲得所測點位的平面精度，但卻一直未能以相應的精度解求點的高程值［1］。原因是GPS所測得的高程是測站點相對于WGS－84橢球面的大地高，而我國采用的高程系統，是相對于似大地水準面的正常高系統，雖然，GPS能給出高精度的大地高，卻由于沒有一個具有相應精度高分辨率的似大地水準面模型，致使GPS大地高到GPS海拔高的轉換過程中精度嚴重丟失。因此，有必要找出GPS點的大地高Hg和正常高程Hr的關系，并用一定的方法將Hg轉換為Hr.

研究GPS高程的意義有兩個方面：一是精確求定GPS點的正常高，二是求定高精度的似大地水準面［2］。要實現這兩個目標，必須利用測區內足夠數量、分布合理且比較均勻、大地高和正常高均已知的公共點來擬合似大地水準面。

為了精確的計算出一定區域內GPS點的正常高，主要討論三種擬合方法，即二次曲面法、移動曲面法和多面函數法，結合玉鐵鐵路某段GPS控制網，應用三種水準擬合模型進行計算，對各模型擬合結果進行精度分析和殘差比較，并對各模型的適用性進行探討，為測量工作者在實際工作中尋找合適的擬合方法提供參考。

1 GPS高程擬合模型及其精度評定

1.1 多項式曲面擬合法

在小區域GPS網內利用多項式曲面擬合法進行GPS高程擬合，就是將似大地水準面看成曲面，將高程異常ζ表示為平面坐標相關的函數，通過網中起算點的已知高程異常來確定測區的似大地水準面形狀，繼而求出其余各點的高程異常［3］。在實際工程應用中普遍采用的是二次曲面，其數學模型為

式中：a0、a1、a2、a3、a4、a5為擬合待定參數；xi、yi為GPS點的平面坐標；εi為擬合誤差。

這種方法要求區域內至少需要6個公共點，當公共點數n多于6個時，可列出相應的誤差方程

其矩陣形式為

式中：

根據最小二乘法原理可求得

將求出的系數矩陣A帶入式（3），可求出未知點的高程異常，再根據式（1）即可求出各點正常高。

1.2 移動曲面法

利用移動曲面法進行GPS高程擬合就是要通過計算未知點周圍的若干數據點，建立一個相應的多項式來內插該點的值。移動曲面法實質上就是一種點逼近方法［4］，即在指定的半徑為R的區域中，以內插點為圓心，并和其周圍的已知點建立起一個擬合曲面，這個曲面在中心內插點上的值就是所求的內插值，同時這個有限區域會隨著插值中心點的位置變化而移動［5］。現結合二次曲面法論述移動曲面法的一般性過程。

二次曲面模型如式（3）所示，因各已知數據點在最小二乘求解中所作貢獻的大小與該點到插值中心點的距離遠近有關，可對作為觀測值的各高程異常按距離加權［6］，常采用的權函數式為

為消除離插值點較遠的已知點的影響，可設定以判定式（6）來實現

在施工過程中，混凝土若出現配置不合理和易性差就是十分嚴重的問題。進行施工的過程中采用劣質混凝土就會出現混凝土壓實不到位，造成了后期出現滲漏，由于質量差的混凝土防水性差，強度比較低，給后期施工帶來難度。與此同時，就需要提高混凝土的防水性，就要使用防水卷材。它是由橡膠、瀝青和其他材料制作的一種防水材料，也被叫做油毛氈或者油氈，最大的優勢就是柔韌性和防水性強。如果在施工的過程中使用不符合標準的防水卷材，就起不到防水的效果和作用，同樣會造成滲漏水。

式中R為一定值，通常選用已知點平均距離的2倍。

移動曲面法的誤差方程為

根據最小二乘原理解帶權的極小值問題得式（7）的解為

得出系數陣后，即可求出內插點的高程異常值，進而求得其正常高。

1.3 多面函數法

“任何數學表面和任何不規則的圓滑表面，總可用一系列有規則的數學表面的總和以任意精度逼近”［7］，這就是多面函數法的理論根據。應用到GPS高程擬合中，以此來解決根據數據點形成一個平差的數學曲面問題，可以得到高程異常函數［8］：

式中：ai為待定系數；Q（x，y，xi，yi）是x和y的二次核函數，其核在 （xi，yi）處；ζ可由二次式的和確定。

理論上核函數是可以任意構造的，但在實際運用中一般采用具有對稱結構的距離型：

式中：δ為平滑因子，用來對核函數進行調整；b一般可選某個非零實數，常取1／2或－1／2，當取1／2時，核函數為雙曲面模型；取－1／2時，核函數為倒曲面模型。

式（9）的誤差方程為

待定系數可根據已知點的高程異常值，按最小二乘原理求出

由待定系數即可代入式（9）計算各內插點的高程異常值。

多面函數法擬合高程異常，核函數和平滑因子的選擇對擬合效果有重要的影響，對于每個區域都應認真研究并逐步的實驗和改進。

1.4 精度評定

為了檢查GPS高程擬合效果，一般在設計計算方案時，常會用一部分已知點作為公共點，而將另外一部分已知點作為檢核點參與擬合計算，根據檢核點的擬合值和已知值用式（13）計算其外符合精度M［9］

式中：n為已知檢核點數；V為擬合值的殘差。

2 GPS高程模型應用實例

實驗采用玉鐵鐵路某段GPS控制網數據，測區處丘陵到平原的過渡區域，地形起伏變化較大，高程異常值呈多曲面性變化。點位分布如圖1所示，測段長約為70km，由東北到西南沿鐵路呈帶狀布設48個E級GPS控制點。為滿足施工要求，所有點都經過四等水準聯測。因此，各控制點既有平面坐標、大地高，又有水準高程，可據此對各模型的高程擬合精度進行實驗驗證。

圖1 GPS點位平面圖

根據地形以及控制網特點，在測區內選取7個點（點號分別為3、9、16、22、30、38、46）作為已知高程異常的公共點，已知點平均距離為8km，剩余點作為待定點，其中，1、2、47、48為外推點，其余為內插點。運用三種模型進行擬合計算，移動曲面法的權值采用Pi＝ ［（R－di）／di］2，其中搜索半徑R值按照已知點平均距離2倍的原則采用R＝16；經實驗，多面函數法采用擬合效果較好的雙曲面模型作為核函數，其平滑因子采用0.8.

將擬合的結果與水準測量結果進行比較，得到其殘差值統計如圖2所示。

圖2 不同擬合方法擬合點殘差比較

表1 殘差統計表

圖2示出了三種方法擬合各點的殘差值大小，表1對殘差的絕對值進行統計，得出殘差最大、最小值以及擬合的外符合精度。由圖表中的殘差統計可以看出，在該測段三種擬合方法均能達到厘米級的擬合精度。

殘差統計結果顯示移動曲面法和多面函數法的擬合效果明顯優于二次曲面方法，得到的外符合精度高出二次曲面法近一倍。這是因為在這種長距離大范圍區域內，其似大地水準面多呈多曲面化，運用單一曲面進行擬合，往往不能完全表現出其高程異常的變化。

從模型上來看，移動曲面法綜合了曲面模型和加權模型的優點，根據插值點到已知點的距離定權，削弱了離插值點較遠的已知點對插值結果的影響。在已知點數量足夠，且分布均勻的情況下，移動曲面法可以高精度的表達出區域的高程異常變化。

采用多面函數模型擬合出的精度與移動曲面法精度相當，但圖3中并未列出多面函數法計算出外推點的殘差值，原因是多面函數法作為一種內插方法不適用于外推，實驗中計算出1、2、47、48點的外推值殘差為分米級到米級，因此，并未列入統計當中。

3 結 論

根據以上對GPS擬合高程的情況分析，可以得出以下幾點建議：

1）通過GPS高程擬合方法，可以大量減少水準測量工作量，提高工作效率。

2）對測區進行水準擬合時，要根據測區情況選定合適的擬合方法。二次曲面法適合于測區范圍較小和高程異常呈單曲面變化的地區，對于大范圍復雜地區應盡量采用多面函數或移動曲面法。

3）當采用多面函數法時，對于一定的區域，要多采用幾種核函數和平滑因子進行內插實驗對比，選出效果最好的進行計算，計算時應避免出現外推值。

［1］ 徐紹銓，張華海，楊志強，等.GPS測量原理及應用［M］.武昌：武漢大學出版社，2006.

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