利用樣條分頻消除GPS與APS組合定位中海浪擾動的方法研究＊

夏光輝

（91550部隊，遼寧 大連116023）

0 引 言

GPS／APS定位系統的實質，就是將放置于水底的水聲測量應答器陣列，轉移到了浮于水面的浮標上，即通過GPS測量獲得浮標的精確點位坐標，再通過浮標上APS水聲定位單元實現對水下目標的定位［1］。GPS／APS系統的測量不同于陸基固定測量站的測量，由于測站浮于海面上，除了受通常陸基測站的影響因素外，還受海面波浪的影響，使得測站隨海面搖擺起伏，導致測量信號中混合了某些隨機擾動信號［2］，使測量信號中包含的信息不是被測目標位置特性的真實表達，必須在數據處理中予以剔除。如何將其區分開來對于實際應用具有重要意義。由于三次樣條在函數逼近和動態數據處理中的特殊地位，引入三次樣條函數為主線的樣條分頻方法。

1 樣條分頻方法

大量的實測數據的分析表明：無論是GPS位置計算還是APS測距計算都存在類似海浪隨機擾動問題，由此導致定位結果的周期性的波動。針對這種情況，討論一種模型［3］

式中：y（t）為測量數據；P（t）為真實信號；B（t）為海浪起伏、動態滯后、相位漂移等次低頻誤差；ε（t）為隨機誤差。

式（1）在測量數據分析等實際應用中廣泛存在。特別需要指出的是，在實際問題中B（t）往往表示各種趨勢信號中的波動信號，作為系統誤差，需要從y（t）中扣除；作為波動信號，則需要從y（t）中分離出來進行分析。總之，為了解決實際測量中的問題，需要從y（t）中將P（t），B（t），ε（t）各自分離。

通過建立自由節點樣條函數的非線性模型來解決這一問題。在樣條階數給定的條件下，從y（t）中分離P（t），B（t），ε（t）的問題可轉化為求樣條節點數以及節點序列的優化問題。對該優化問題，設計了求解樣條節點的算法，根據該算法給出航跡表示的樣條節點序列。

考慮區間 ［a，b］，稱

為［a，b］上的具有N個內節點的n次多項式樣條函數。其中T1，T2，…，TN為n次多項式樣條函數的N個內節點，記ΓN＝ ｛TN＝ （T1，T2，…，TN）：a＜T1＜T2＜ … ＜TN＜b｝為節點數等于N的內節點序列的全體。考慮區間［a，b］，測量信號具有n次多項式樣條特征是指存在N個樣條內節點TN∈ΓN，使得

式中｛ε（t）｝為零均值平穩隨機過程。

從理論上講，只要樣條節點數N足夠大，總可以使得式（2）成立，但在實際問題中，N不能無限大，一般都有一個上界值，隨著節點數的增加，雖然信號的表示精度可望提高，但由此帶來的問題是由于參數的增多，而導致信號估計的精度降低［4］。

設y（t）具有n次樣條多項式特征，并在m個時刻有采樣數據 ｛y（ti），i＝1，2，…，m｝，a＜t1＜t2…＜tm＝b.由此可獲得一個離散數據模型

式中，ε（ti）～ （0，σ2）為測量隨機誤差，假設為白噪聲。

實際問題中，P（t）與B（t）之間，B（t）與ε（t）之間通常都存在一個頻帶間隔（大量的計算實例均表明了這一點）。因此，若定義殘差

則 ｛G （N）｝是一個遞減序列，隨著N的增大，｛G （N）｝是一個逼近過程，且逼近趨勢有下面四個階段：

表1 仿真數據的G（N）值／m

為了實現上述逐步逼近過程，需要建立一個可以實現的算法。考慮式（3），令

式（3）可以寫成向量形式

式（8）的參數估計可歸為如下非線性優化問題：即求參數α，TN，使得

其中

式（9）是在n＋N＋1維的空間中進行的。式（8）中參數α是線性的，因此，可以把優化問題（9）的維數降到參數TN的維數N.

則P（TN）為冪等陣，P（TN）即是X（TN）的列向量所生成空間的投影陣。令H（TN）＝I－P（TN），則

考慮下面的非線性優化問題。求＾TN使得殘差平方和

式（11）中只涉及到節點參數TN，是一個N維空間的優化問題。

為定量地給出分頻界線，對下述樣條函數尋優準則BIC量進行分析：

通過對BIC量分析，可定量地給出P（t）與B（t）、P（t）＋B（t）與ε（t）的分頻界線：BIC（N）隨N的增加將在N1到N2之間，N3到N4之間分別出現兩個極小值點，記為N＊，和N＊＊.N＊為P（t）與B（t）的分頻界點，N＊＊為P（t）＋B（t）與ε（t）的分頻界點。可從測量數據y（t）中把真實信號P（t）與海浪長周期起伏分量引起的誤差信號B（t）以及海浪短周期起伏分量引起的誤差信號ε（t）進行分離。

2 分頻算法的設計

根據上節的樣條分頻理論，設計的分頻算法的構造流程如圖1所示。實際的初始節點TN（0）由等距樣條節點提供，L為最大樣條節點數，λ為收斂因子，δ為控制因子。

圖1 分頻算法流程

3 分頻算法的應用

3.1 海浪對GPS／APS測量的影響

通常海面波浪的高度在0.5～20m范圍內，常見浪高為1～4m，波浪周期約1～25s（0.04～1 Hz）。由于物理現象的復雜性，目前尚不能完全從理論上確定海浪頻譜的解析形式。海浪的運動不可避免影響到GPS／APS的測量。圖2出了某次實驗中水下定位數據Y方向的樣條擬合殘差圖。

圖2 實測數據擬合殘差圖（Y方向）

從圖中可以看到，測量數據在三個坐標方向都存在明顯的周期性擾動，根據實驗的背景，確定這種周期振蕩并非目標運動特性所致，因此，可以斷定是來自環境因素的影響，即海浪起伏引起的隨機擾動［5］。

3.2 實際應用

由圖2中可以看到存在著明顯的周期性波動，利用給出的樣條分頻方法對該實測數據進行分頻處理，得到的頻譜分析結果如圖3所示。

圖3 測量數據的頻率－能量譜

從圖3可以看到，在0.04～0.05Hz左右波動干擾的能量最大，通過3.1節的分析，可以排除這種現象屬于目標位置特性的可能。從頻率上來看，與海浪的頻率范圍十分相符，結合實驗的水文測量數據，可以推斷是屬于海浪波動引起的［6］。

根據式（3），對該定位數據利用上述分頻算法進行分頻處理，從數據的處理結果看，一致性較好。這里只給出了其中的一段數據處理結果，圖4示出了分離出的海浪引起的長周期誤差信號；圖5示出了分離出的海浪引起的短周期誤差。由此可見，采用樣條分頻對測量數據進行處理后，能有效地剔除了長周期性漂移誤差，同時也能清楚地分離短周期隨機誤差，效果相當明顯。

圖4 測量數據中分離出的漂移誤差圖

圖5 測量數據分頻處理后的殘差圖（N＝15）

4 結 論

針對GPS／APS水聲定位系統測量中由于海浪的起伏引起定位信息的隨機擾動進行了分析，提出了采用樣條函數信號分頻理論對APS測元數據的混合誤差建立分頻模型的方法，并結合實測數據進行了仿真分析驗證，仿真結果表明：經過分頻處理后，能大大降低海浪波動給測量結果帶來的殘差，可以解決測站起伏對定位精度的影響。實際應用表明：采用樣條分頻處理方法可以有效提高定位數據精度。

［1］ 蔡艷輝.差分GPS水下定位系統集成關鍵技術研究［D］.沈陽：遼寧工程技術大學，2007：15－18.

［2］ 李小民，李建增，宋 軍，等.水下GPS應用方法研究［J］.測控技術，2004，23（6）：57－59.

［3］ 易大義，沈勻寶，李有法.計算方法［M］.杭州：浙江大學出版社，2002：28－35.

［4］ 王正明，易東云.測量數據建模與參數估計［M］.長沙：國防科技大學出版社，1996：53－66.

［5］ 許景波，邊信黔，付明玉.隨機海浪的數值仿真與頻譜分析［J］.北京：計算機工程與應用，2010，46（36）：226－229.

［6］ 赫 亮.波浪譜密度函數數值分析［D］.大連：大連理工大學，2005：31－36.