一個猜想的微分法證明及推廣

薛惠良，湯炳興

（1.常熟市中學，江蘇常熟 215500；2.常熟理工學院數學與統計學院，江蘇常熟 215500）

一個猜想的微分法證明及推廣

薛惠良1，湯炳興2

（1.常熟市中學，江蘇常熟 215500；2.常熟理工學院數學與統計學院，江蘇常熟 215500）

利用排序不等式證明猜想（1）的輪換對稱不等式（2）；把所給出的命題建模為二元函數，使用二元函數極值的判定定理給出猜想的證明；同時把猜想中的指數從正整數k推廣到了實數R+；當k=1時，對稱式（2）就是著名的內斯比特不等式的推廣.最后把猜想（1）推廣到更一般的情形，得到命題③和④.

輪換對稱；排序不等式；偏微分；極值定理；內斯比特不等式；推廣

1 引言

《數學通報》2009年10月第1818號數學問題如下：

設a,b,c∈R+,試證：

文獻[1]把1818號問題作了等價變形，并給出了命題：a,b,c∈R+,k∈N,k≥2

不等式（1）當k=2,3,4,6時成立，并猜想k對于任意不小于2的整數均成立.

2 主要結果

首先證明（1）的輪換對稱式：a,b,c∈R+,k∈N,k≥2

成立.

其次用微分法證明當k＞1，（k∈R）時（1）式成立，當0＜k＜1，（k∈R）時（1）式的不等號反向成立；再探究當k=1時（1）式不成立及（2）式成立的背景.

2.1 不等式（2）的證明

故命題②成立.

2.2.2 在A最值存在條件下，用初等方法探究A的最小值

設a,b,c∈R+,k∈N,k≥2，

樣就有

的最小值為2t.

由（3）、（4）、（5）、（9）得

當且僅當a=b=c時等號成立.

2.3 探究當k=1時不等式（1）與（2）的成立與否

當k=1時不等式（2）顯然成立，即a,b,c∈R+,則有

（10）式顯然是內斯比特不等式.事實上，當a,b,c∈R+時，由柯西不等式得

故不等式（1）不能成立.

對于k元一次齊次式，我們有：若ai∈R+,i=1,2,???,k，k∈N,k≥2,則

不等式（11）是內斯比特不等式的推廣.

2.4 不等式（1）的推廣

命題③若ai∈R+,i=1,2,???n,k∈R,k＞1，則有，

用命題②③的證明過程，容易得到命題④的證明.

[1]蔡祖才.數學問題1818的等價式推廣[J].數學通報，2010（12）：58．

[2]常庚哲，史濟懷.數學分析教程[M].北京：高等教育出版社，2003．

Proof and Generalization of a Method of Differentiation Hypothesis

XUE Hui-liang1,TANG Bing-xing2
(1.Changshu Middle School,Changshu 215500,China; 2.School of Mathematics and Statistics,Changshu Institute of Technology,Changshu 215500,China)

Sorting algorithm and inequality is used to testify rotation symmetric inequality(2)of hypothesis(1);the propositions are utilized to model binary function,and the laws of two variable extreme value are used to prove the hypothesis.Meanwhile,the hypothesis spreads exponents from positive integer K to real number R+;When K=1, symmetric expression(2)is the spread of Nesbitt’s inequality.In the end,hypothesis(1)can be generalized to more common conditions,thus concluding proposition③and proposition④.

rotational symmetry;sorting algorithm and inequality;partial differential;laws of two variable extreme value;Nesbitt’s inequality;generalization

0172.1

A

1008-2794（2012）04-0041-05

2012-01-08

薛惠良（1957—），男，江蘇常熟人，江蘇省常熟市中學高級教師.