分數階積分微分方程三點邊值問題解的存在性

朱彥，顧長超，吳婷，孫琳

（安徽大學數學科學學院，合肥 230039）

分數階積分微分方程三點邊值問題解的存在性

朱彥，顧長超，吳婷，孫琳

（安徽大學數學科學學院，合肥 230039）

利用Banach壓縮映像原理和Krasnoselskii不動點定理，研究了一類分數階積分微分方程三點邊值問題解的存在性和唯一性.

分數階積分微分方程；邊值問題；存在性；唯一性；不動點定理

1 引言

近年來，分數階微分方程初值問題和邊值問題引起了廣泛的關注.除了在數學領域的應用，還在光學和熱學系統、流變學及材料和力學系統、信號處理和系統識別、控制和機器人等領域均有應用．隨著分數階微分方程理論知識的不斷發展[[1-2]，關于分數階微分方程解的相關性質的研究成果也層出不窮[3-8].但大多數僅僅是對分數階微分方程的研究，隨著分數階微分方程在越來越多的科學領域里出現，從實際問題抽象出來的方程很有可能是較為復雜的含積分的分數階微分方程，從而對分數階積分微分方程的研究顯得尤為迫切.

文獻[3]和[4]討論了分數階積分微分方程邊值問題解的存在性和唯一性.受其啟發，本文研究了下面分數階積分微分三點邊值問題

其中k∈(J×J,R+),另記

本文中我們首先給出有關分數階微分方程的基本概念和準備知識；其次將邊值問題（1）轉化為等價的積分方程；最后，運用不動點定理得到解的存在性和唯一性的兩個充分條件.

2 預備知識

定義2.1函數y:(0,+∞)→R的α階Riemann-Liouville分數階積分為

其中，α＞0，Γ(?)為gamma函數，右邊在(0,∞)上是逐點定義的.

定義2.2函數y:(0,+∞)→R的α階Riemann-Liouville分數階微分為

其中，n=[α]+1,[α]表示α取整，右邊在(0,∞)上是逐點定義的.

引理2.3若u∈C(0,1)?L(0,1)有α階導數屬于C(0,1)?L(0,1)，則

ci∈R,i=1,2,…,N,其中N=[α]+1.

引理2.4[6]假設函數h∈C(J,R),則函數u是分數階積分方程

的解，當且僅當u是下述分數階邊值問題

的解，其中d=(Tα-β-1-aξα-β-1)-1＞0.

對于可測函數m:J→R,定義其范數為

定理2.6（Krasnoselskii不動點定理）設D是Banach空間X的非空閉子集，映射A,B滿足：

（ⅰ）當x,y∈D時，Ax+By∈D；

（ⅱ）A是連續且緊的；

（ⅲ）B是一個壓縮映射；

則存在z∈D,使得z=Az+Bz.

3 主要結論

定義X=C(J,R),其范數‖u‖=supt∈J|u(t)|,顯然X為一個Banach空間.

接下來，我們分別利用壓縮映像原理和Krasnoselskii不動點定理給出了邊值問題（1）解的存在性和唯一性的兩個充分條件.

貫穿全文，給出下列條件：

（H1）f:J×R×R→R是連續的；

（H2）存在q1∈(0,1)和一個非負實值函數,使得對每一個t∈J和所有的u∈X,都有|f(t,u(t),(Au)(t))|≤h(t);

為了方便，引入下列記號

定理3.1假設條件（H1）-（H3）成立，如果

則邊值問題（1）有唯一解.

證明由引理2.4可知，邊值問題（1）等價于下述積分方程

因此，將邊值問題（1）的唯一解等價于映射F在Br上有唯一的不動點.

首先證明F:Br→Br.由條件（H2）和Holder不等式有

從而有‖Fu‖≤r,即F:Br→Br.

再證，F在Br上是一個壓縮映射.對任意的u,v∈X,t∈J，由條件（H3）和Holder不等式有

由Banach壓縮映像原理可知，邊值問題（1）有唯一解.

定理3.2假設條件（H1）-（H3）成立，如果

則邊值問題（1）至少有一個解.

證明將邊值問題（1）轉化為不動點問題，在Br上定義映射F如定理3.1中（3）式所示.為了利用Krasnoselskii不動點定理，我們將映射F拆分為F1+F2,其中

為方便起見，我們將證明過程分為以下幾步.

（Ⅰ）對任意u,v∈Br,有F1u+F2v∈Br.

由定理3.1的證明可知因此，F1u+F2v∈Br.

（Ⅱ）F1是一個壓縮映射.

顯然F1:Br→Br.對任意的u,v∈Br,t∈J,由條件（H3）和Holder不等式有

因此，F1是一個壓縮映射.

（Ⅲ）要證F2是連續且緊的.

先證F2是連續的.取{un}?X,使得un→u.由Lebesgue控制收斂定理，當un→u時，Aun→Au.因此，對每一個t∈J,有

由f的連續性，我們有‖F2un-F2u‖→0,n→∞.

其次，證F2將有界集映成有界集，即證存在μ＞0,使得對每一個u∈Br={y∈X:‖y‖≤r},都有‖F2u‖≤μ.

對每一個t∈J,由（H1）和Holder不等式有

最后，證F2將有界集映成等度連續集.

取0＜t1＜t2＜T,u∈Br,則有

當t2→t1時，有|(F2u)(t2)-(F2u)(t1)|→0,則F2在J上等度連續.

因此，由Arzela-Ascoli定理，F2是連續且緊的.

結合以上證明及Krasnoselskii不動點定理，邊值問題（1）至少有一個解.

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Existence of Solutions for Fractional Integrodifferential Equations with 3-point Boundary Value Problem

ZHU Yan,GU Chang-chao,WU Ting,SUN Lin
(School of Mathematical Sciences,Anhui University,Hefei 230039,China)

In this paper,a study is made of existence and uniqueness of fractional integrodifferential equations with 3-point boundary value conditions by means of Banach contraction principle and Krasnoselskii fixed point theorem.

fractional integrodifferential equations;boundary value problem;existence;uniqueness;fixed point the?orem.

O175.8

A

1008-2794（2012）04-0035-06

2012-03-17

高等學校博士學科點專項科研基金聯合資助課題“隨機泛函微分方程的單調半流理論及應用”（20113401110001）

朱彥（1988—），女，江蘇泰州人，安徽大學數學科學學院研究生，研究方向：微分方程．