解周期初值問題的三角擬合顯式三步方法

劉石威

（棗莊學院數學與統計學院，山東棗莊 277160）

解周期初值問題的三角擬合顯式三步方法

劉石威

（棗莊學院數學與統計學院，山東棗莊 277160）

以一類解二階微分方程的顯式三步方法為基礎，構造了一個三角擬合顯式三步方法，給出了新方法的局部截斷誤差，對新方法做出了穩定性分析，數值實驗的結果表明新方法在求解周期性初值問題的微分方程時具有明顯高效性.

三角擬合；三步方法；周期性初值問題

1 引言

周期初值問題：

廣泛出現在量子力學、天體力學、電子學、物理化學、化學物理學等不同領域中，尤其當這類方程的解具有周期性或類周期性行為時[1-2].在構造求解振蕩性或周期性初值問題方法時，三角擬合與指數擬合是其中較常使用的方法.Lyche[3]最先給出了這項技術的理論.Raptis和Allison[4]構造了對于解Schr?dinger類型的方程具有更高效率的Numerov類型的指數擬合方法.后來學者們對三角擬合Runge-kutta方法進行了深入研究，取得了豐碩的成果[5-7].

2 三角擬合顯式三步方法

對（1）的數值求解問題，考慮下面形式的顯式三步格式[8]讓（2）精確積分的線性組合，可得如下方程組

這里u=ωh.

當u很小時，使用它們的泰勒展式形式

將由（5）所給系數的三角擬合顯式三步方法（2）記為ST3F1，它的局部截斷誤差為

故此方法的代數階為4.根據（6）式，因為u=ωh，可知當ω→0時，我們所得到的新方法ST3F1將變為原始的顯式三步方法.

3 穩定性分析

根據文獻[9-10]中穩定性分析理論，作以下定義：

定義1在二維平面u-H(u=ωh,H=λh)內，對于方法ST3F1，設其特征方程的特征根為ri(i=0,1,2)，稱滿足|ri|＜1 (i=0,1,2)的所有點(u,H)的集合D為ST3F1的絕對穩定性區域.同時稱滿足|ri|= 1(i=0,1,2)的所有點(u,H)的集合為穩定性區域D的邊界.

在圖1中給出方法ST3F1的絕對穩定性區域，分析圖1可知，在實際處理振蕩問題時，若ω對于問題的決定性頻率λ的估計越準確，穩定性區間越大.特別地，當ω=λ時，穩定性區間最大.只要ω＜λ，方法都存在主穩定性區間.需要注意的是，文獻[9]中提到大多數由變量u決定的變系數Runge-kutta方法沒有主穩定性區間.而與文獻[9]中列舉的一些較好的方法，如EFRK2、EFRK3、EFRK4、PHRK4等相比較可知ST3F1具有較好的穩定性.

4 數值實驗

以下選用五個方法予以比較：原始的St?rmer-Verlet二步方法[8]，用ST2表示.三角擬合St?rmer-Verlet二步方法，用ST2F1表示.原始的顯式三步方法[8]，用ST3表示.三角擬合顯式三步方法，即新方法ST3F1.FSAL屬性的RKN方法[11]，用FRKN表示.

4.1 問題1

考慮初值問題

圖1 新方法ST3F1的絕對穩定性區域

其精確解為：y(x)=cos(10x)+sin(10x)+sin(x).

選擇區間0≤x≤100，對于新方法ST2F1和FRKN選擇ω=10，評判的依據是比較5個方法的全局誤差及計算所用的步長，圖2給出了數值實驗結果.

4.2 問題2

考慮初值問題

考慮區間0≤x≤100，對方法ST2F1、ST3F1和FRKN選擇ω=9.評判的依據是比較5個方法的全局誤差及計算所用的步長，圖3給出了數值實驗結果.

圖2 問題1的數值實驗結果

圖3 問題2的數值實驗結果

4.3 問題3

考慮初值問題

考慮區間0≤x≤100，對于新方法ST2F1、ST3F1和FRKN選擇ω=13.評判的依據是比較5個方法的全局誤差及計算所用的步長，圖4給出了數值實驗結果.

4.4 問題4

考慮初值問題

這里y(x)=u(x)+iv(x),其精確解為：

考慮區間0≤x≤100，對于新方法ST2F1、ST3F1和FRKN我們選擇ω=13.評判的依據是比較5個方法的全局誤差及計算所用的步長，圖5給出了數值實驗結果.

圖4 問題3的數值實驗結果

圖5 問題4的數值實驗結果

5 結論

通過數值試驗，容易判斷新方法在數值求解二階微分方程時，穩定性與精確性較原始方法及其他方法表現更好.這個方法具有一定的實際應用價值.

[1]Dormann J,Fiorani D,Tronc E,et al.Advances in chemical physics[M].New York:John Wiley＆Sons,1997:98.

[2]Landau L,Lifshitz F.Quantum mechanics[M].New York：Pergamon,1965.

[3]Lyche T.Chebyshevian multistep methods for ordinary differential equations[J].Numerische Mathematik,1972,19：65-75.

[4]Raptis A,Allison A.Exponential-fitting methods for the numerical solution of the Schrodinger equation[J].Computer Physics Communications,1978,14：1-5.

[5]Anastassi Z A,Simos T E.Trigonometrically fitted fifth-order runge-kutta methods for the numerical solution of the schr?dinger equation[J].Mathematical and Computer Modelling,2005,42：877-886.

[6]Franco J.An embedded pair of exponentially fitted explicit Runge–Kutta methods[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2002,149：407-414.

[7]Vanden Berghe G,De Meyer H,Van Daele M,et al.Exponentially fitted Runge–Kutta methods[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2000,125：107-115.

[8]Hairer E,N?rsett S P,Wanner G.Solving ordinary differential equations：Nonstiff problems[M].Berlin:Springer Verlag,1993.

[9]Van de Vyver H.Stability and phase-lag analysis of explicit Runge–Kutta methods with variable coefficients for oscillatory problems[J].Computer Physics Communications,2005,173：115-130.

[10]Dekker K.Stability of linear multistep methods on the imaginary axis[J].BIT Numerical Mathematics,1981,21：66-79.

[11]Van de Vyver H.A Runge–Kutta–Nystr?m pair for the numerical integration of perturbed oscillators[J].Computer Physics Communications,2005,167：129-142.

Trigonometrically Fitted Explicit Three Steps Method for Periodic Initial Value Problems

LIU Shi-wei
(School of Mathematics and Statistics,Zaozhuang University,Zaozhuang 277160,China)

A trigonometrically fitted explicit three-step method is developed based on an explicit three-step meth?od for periodic initial value problems.Stability of the new derived method is analyzed and the numerical illustra?tions show that the new method is more efficient than some well-known methods.

trigonometrically fitted;explicit three-step method;periodic initial value problems

O242

A

1008-2794（2012）04-0024-04

2012-03-11

劉石威（1982—），男，山東棗莊人，助教，碩士，研究方向：計算數學.