一類多葉解析函數(shù)的性質(zhì)

徐能，朱惠秋

（1.常熟理工學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，江蘇常熟 215500；2.常熟市外國語初級中學(xué)，江蘇常熟 215500）

一類多葉解析函數(shù)的性質(zhì)

徐能1，朱惠秋2

（1.常熟理工學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，江蘇常熟 215500；2.常熟市外國語初級中學(xué)，江蘇常熟 215500）

解析函數(shù)；p葉函數(shù)；星形函數(shù)；近于凸函數(shù)；從屬

1 引言

設(shè)f(z),F(z)在單位開圓盤U={z:|z|＜1}內(nèi)解析，我們稱函數(shù)f(z)在U內(nèi)從屬于F(z)并記作f(z)?F(z)(z∈U)，如果存在U內(nèi)解析函數(shù)w(z)使|w(z)≤|z|且f(z)=F(w(z))(z∈U).又若F(z)在U內(nèi)單葉，則f(z)?F(z)(z∈U)當(dāng)且僅當(dāng)f(0)=F(0)，f(U)?F(U).

的解析函數(shù)類.若f(z)∈Ap,n滿足

稱f(z)在類kp,n中.熟知kp,n中每一函數(shù)是p葉近于凸的.若f(z)∈Ap,n滿足

為避免重復(fù)，全文設(shè)

我們引進(jìn)Ap,n的新子類Hp,n(A,B,α,λ)如下：

定義函數(shù)f(z)∈Ap,n稱為在類Hp,n(A,B,α,λ)中，若f(z)滿足

2 一些準(zhǔn)確的界

容易知道（1.6）定義的函數(shù)h(z)可展開成

（2.3）和（2.4）中的界皆準(zhǔn)確，有極值函數(shù)

證明由于（1.6）定義的解析函數(shù)h(z)在U內(nèi)凸（單葉）的（見文獻(xiàn)[11]）且滿足h=(z∈U),故當(dāng)|ξ|≤σ(ξ∈C;σ＜1)有

設(shè)f(z)∈Hp,n(A,B,α,λ),則按定義可知

類似地，從（2.2），（2.6）右端不等式與（2.8）可得到（2.4）.

對于（2.5）定義的函數(shù)f(z)，容易驗證

結(jié)果皆準(zhǔn)確.

證明當(dāng)λ=1，從定理1證明中（2.9）得

由此立得（2.10）.類似的，從

可得（2.11）.而且所得估計皆準(zhǔn)確，有極值函數(shù)

定理2設(shè)f(z)∈Hp,n(A,B,α,λ),則當(dāng)z∈U有

結(jié)果皆準(zhǔn)確.

證明設(shè)f(z)∈Hp,n(A,B,α,λ),因為

利用定理1中（2.3），從（2.17）產(chǎn)生

同理，利用定理1中（2.4）與（2.17）可得（2.16）.而且，（2.5）定義的函數(shù)表明（2.15）和（2.16）是準(zhǔn)確的.

推論2設(shè)f(z)∈Hp,n(A,B,α,),則當(dāng)z∈U有

結(jié)果皆準(zhǔn)確.

證明設(shè)f(z)∈Hp,n(A,B,α),則從推論1證明中（2.12）產(chǎn)生

即（2.18）成立，類似地，利用（2.13）和（2.17）可得（2.19）.而且，（2.14）給出的函數(shù)f(z)表明所得結(jié)果（2.18）和（2.19）皆準(zhǔn)確.

定理3設(shè)f(z)∈Hp,n(A,B,α,λ),AB≤1，則當(dāng)z∈U有

結(jié)果是準(zhǔn)確的.

證明已知

因為AB≤1，有1-ABσ2＞0，于是（2.21）產(chǎn)生

現(xiàn)在，對于z∈U與0≤u≤1，從（1.6），（2.2），（2.8）和（2.22）導(dǎo)致

此外，（2.20）中等號被（2.5）定義的函數(shù)f(z)在z=|z|到達(dá).定理得證.

引理1[12]若

估計（2.24）是準(zhǔn)確的.

證明注意h(z)=1+λ(A-B)z+…，函數(shù)

此即要證的估計（2.24）.

其次，考慮函數(shù)

我們看到f(z)∈Hp,n(A,B,α,λ)且系數(shù)估計（2.24）是準(zhǔn)確的.

3 Hp,n(A,B,λ)的p葉近于凸性與p葉星形性條件

定理5Hp,n(A,B,λ)是kp,n的子類當(dāng)且僅當(dāng)

證明設(shè)f(z)∈Hp,n(A,B,λ)且條件（3.1）是滿足的，則由推論1中（2.10）有

故f(z)∈kp,n.從而Hp,n(A,B,α)?kp,n.

另一方面，假設(shè)

最后給出Hp,n(A,B,α)?的充分條件.為此需要以下結(jié)果：

引理2（文獻(xiàn)[13]，定理4（i））設(shè)內(nèi)解析，g(z)≠a.若0＜|z0|＜1， Reg(zo)=min|z|≤|z0|Reg(z)，則

定理6設(shè)

則Hp,n(A,B,α)是的子類.

證明首先注意當(dāng)B≥0時，不等式（3.7）顯然產(chǎn)生不等式（3.8）.設(shè)f(z)∈Hp,n(A,β,α)則

由（3.7）和推論1中（2.10）得

從而（3.8）和推論2中（2.18）產(chǎn)生

因此，函數(shù)

下面要證Reg(z)＞0(z∈U).假設(shè)存在點(diǎn)zo(0＜|zo|＜1)使得

則應(yīng)用引理2有

當(dāng)α≥1，利用（3.9），（3.11），（3.12）和（3.16），從（3.14）推出

但（3.17）與（3.10）（在z=z0）不相容，從而必有

[1]Chichra P N.New subclasses of the class of close-to-convex functions[J].Proc Amer Math Soc,1977,62:37-43.

[2]Singh R,Singh S.Convolution properties of a class of starlike functions[J].Proc Amer Math Soc,1989,106:145-152.

[3]Ali R M.On a class of starlike functions[J].Rocky Mount J math,1994,24:447-541.

[4]Silverman H.A class of bounded starlike functions[J].Int J Math Math Sci,1994,17:249-252.

[5]Yang D G.Properties of a class of analytic functions[J].Math Japon,1995,41:371-381.

[6]Ponnusamy S,Singh V.Criteria for strongly starlike functions[J].Complex Variables,1997,34:267-291.

[7]Kim Y C,Srivastava H M.Some applications of a differential subordination[J].Int J Math Math Sci,1999,22:649-654.

[8]Kim Y C.Mapping properties of differential inequalities related to univalent functions[J].Appl Math comput,2007,187:272-279.

[9]Yang D G,liu J L.On a class of analytic functions with missing coefficirnts[J].Appl Math Comput,2010,215:3473-3481.

[10]Yang D G,liu J L.A class of analytic functions with missing coefficients[J].Abstract Appl Anal,2011,2011:1-16.

[11]Srivastava H M,Yang D G,Xu N.Some subclasses of meromorphically multivalent functions associated with a linear operator[J]. Appl Math Comput,2008,195:11-23.

[12]Duren P L.Univalent functions[M].New York:Springer-Verlag,1983.

[13]Miller S S,Mocanu P T.Second order differential inequalities in the complex plane[J].J Math anal appl,1987,65:289-305.

Properties of a Class of Multivalent Analytic Functions

XU Neng1,ZHU Hui-qiu2
(1.School of Mathematics and Statistics,Changshu Institute of Technology,Changshu 215500,China; 2.Changshu Foreign Language Junior Middle School,Changshu 215500,China)

analytic functions;p-valent function;starlike function;close-to-convex function;subordination

0174.51

A

1008-2794（2012）04-0016-08

2012-02-28

國家自然科學(xué)基金項目“亞純函數(shù)正規(guī)族”子課題（11171045）

徐能（1961—），男，江蘇常熟人，教授，研究方向：函數(shù)論.