曲面片的可展切曲面及其映射分析

毛 昕， 楊靜林， 馬明旭

（東北大學機械工程與自動化學院，遼寧 沈陽 110004）

曲面片的可展切曲面及其映射分析

毛 昕， 楊靜林， 馬明旭

（東北大學機械工程與自動化學院，遼寧 沈陽 110004）

論文以微分幾何可展曲面理論為基礎，提出了過曲面曲線構造其可展切曲面的方法，得出了可展切曲面的表達形式，對可展切曲面進行了分類，通過建立兩曲面間的映射關系，實現了它們間整體與局部的映射分析，較準確地把握曲面的變形情況，并通過實例對方法進行了驗證。曲面片可展切曲面的方法可以應用于曲面設計、曲面近似展開和紋理映射等方面。

幾何計算；可展切曲面；曲面映射；變形分析

可展曲面在工程中有著廣泛的應用，可展曲面的構造與逼近近年來得到廣泛和深入的研究[1~6]。在曲面結構設計中，經常遇到過曲面上一條曲線設計與該曲面相切曲面的情況，若相切曲面為可展曲面，會給加工制造帶來方便。在不可展曲面近似展開時，往往用可展曲面對其進行局部置換，若可展曲面與不可展曲面有很好的接近程度，便會提高近似展開的精度。另外在近似展開的誤差分析、紋理映射的變形控制等場合，還需要建立兩塊曲面間的映射分析，掌握變形情況。文獻[7-9]在回轉曲面近似展開的誤差分析中，利用回轉曲面的可展切柱面進行展開并分析展開誤差。在此基礎上，本文提出了過曲面上曲線構造其可展切曲面的一般性方法，得出了可展切曲面的表達形式，并通過建立兩曲面間的映射關系，實現了它們間的映射分析。

1 可展切曲面的構造

1.1 過曲面曲線的可展切曲面

如圖1所示，曲面Σ的方程為：r =r( u,v)，Σ上的任意曲線Γ對應參數 u = u(t),v =v(t)，其方程為 r =r (u (t),v(t) ) =r( t )。在Γ曲線上任意點t處，Σ有確定的切平面 St；隨參數t的變化，沿曲線Γ形成一個切平面族

圖1 曲面片及其可展切曲面

式中： n( t)為Σ在t處的單位法矢，R為Σ在t處的切平面矢量， p(t)為原點到該切平面的距離。一般地，{St}非平行面族和共軸面族，于是{St}存在一個包絡曲面 Σ1。因為 Σ1上的點同時必為{St}中某個平面上的點，即 Σ1上的點均滿足式（1）。對式（1）取微分有(R ?n′(t) ?p′(t)) dt+ n( t)? d( R) =0，因為 n(t)? d (R) = 0, dt ≠0，所以(R ?n′ (t) ? p′(t)) =0，于是 Σ1上的點應同時滿足

從式（2）中消去參數 t，即得曲面 Σ1。下面證明 Σ1為直紋可展曲面。

在{St}中取平面 St:n(t) ? R ? p(t) =0和St+Δt:n (t +Δt ) ? R ? p(t +Δt )=0，兩平面相交于一條直線，顯然這條直線也在平面上。當 Δ t→ 0，平面 St′′→ St′ : n ′(t)?R?p′(t) = 0，這時，相交直線趨向它的極限位置Lt， Lt稱為{St}在 St上的特征線。因為 Lt滿足式（2），所以 Lt? Σ1；又因為 Lt在 St上，所以St沿 Lt與 Σ1相切。由連續性可知，Σ1是單參數特征線族{Lt}的集合，即 Σ1是直紋曲面， Lt是Σ1的直素線。

設沿特征線 Lt方向的單位矢量為 l( t)（見圖2），這時， Σ1的方程可寫為

圖2 可展切曲面的表達

即 Σ1為可展曲面[10]。

由前面可知 Σ1的法矢為 n (t,w ) =(r′(t)+ wl′ (t) )× l( t)，且其方向不隨w的值而改變。又由于(r ′ (t) ,l( t) ,l′ (t )) =0，所以 l′ (t)、 r′(t)和l( t)三矢量共面且均在切平面 St內，因此在Γ曲線上任意參數t處，曲面Σ和 Σ1的法矢共線，即具有公共的切平面，因而Σ和 Σ1兩曲面沿Γ曲線相切。

于是，對于曲面Σ，沿其上任意曲線Γ:r = r (u(t),v(t) ) =r( t)，存在一可展曲面 Σ1沿曲線Γ與Σ相切，稱 Σ1為Σ的可展切曲面。

1.2 可展切曲面的表達與分類

對于曲面 r =r( u,v)，沿其上曲線Γ（ u = u(t),v = v(t) ,r =r( t)），可展切曲面 Σ1可直接用式（3）來求取，式中

即

曲面 Σ1的種類可用直素線方向的單位矢量 l( t)的情況來劃分。當 lt為常矢量時，Σ1一般為柱面，特殊地，若 r( t)為平面曲線，且 lt在曲線平面內，或 r( t)為直線， lt不與 r( t)同向，這時 Σ1為平面；若 r( t)為直線，且 lt與 r( t)同向，這時，{St}為過 r( t)的面束，Σ1退化為與 r( t)共線的直線。當 lt不是常矢量時，若 lt交于一點，總存在過該點的常矢量 r，使 r1(t,w)= r +wl( t)，這時， Σ1為錐面；若 lt不交于一點，則存在數量函數 λ( t)，使 l( t) =λ (t)r′(t)，即 lt為 r( t)在t處的切矢，這時，Σ1為切線曲面，r(t)即為切線曲面的脊線。

2 可展切曲面與原曲面間的映射與分析

2.1 曲面間的映射

應用中有時要建立可展切曲面1Σ 與原曲面Σ間的映射關系并分析兩曲面間的變形情況。圖3中，Σ上的點A對應1Σ 上的點A1，如果這種對應是一一的和連續的，便確定了相應的映射關系。為便于分析，可以通過參數變換使兩曲面定義在相同的參數域上，得到曲面對 (,)uvr 和1(,)uvr 或 (,)twr 和1(,)twr 。參數間的函數關系一般要根據映射點間的幾何關系求得，曲面采用不同的參數域會有不同的參數曲線。

圖3 曲面片與其可展切曲面間的映射

2.2 映射分析

2.2.1 整體映射分析

整體映射分析從整體上度量兩曲面間幾何要素的相對變化情況。

1） 相對參數曲線長度變化

式中，L和1L分別為曲面Σ和1Σ 上對應參數曲線的長度。

2） 相對面積變化

式中，S和1S分別為曲面Σ和1Σ 上對應區域的面積。

3） 相對參數曲線交角變化

式中，A和1A分別為曲面Σ和1Σ 上對應參數曲線的交角。

2.2.2 局部映射分析

局部映射分析通過度量一對對應點在對應方向上微分長度的變化，來更深入地揭示兩曲面間的變形情況。首先引入長度比的概念

式中，ds和1ds分別為曲面Σ和1Σ 在對應點處的微分弧長，E、F、G和E1、F1、G1分別為兩曲面的第1基本量，由上式可見，長度比是曲面上點(u, v)和切方向d/dv u的函數，它的值反映了該點、該方向上微分長度的變化。

1） 極值變換曲線 指曲面映射中長度變化取極值的曲線，該曲線上任意點的切矢方向是該點處長度比取極值的方向。

這是關于極值切方向d/dv u的一元二次方程，解之有

上式即為極值變換曲線的微分方程式，兩族解分別對應最大和最小變形曲線。

2） 等距變換曲線 指曲面映射中長度沒有變化的曲線，該曲線上任意點的切矢方向是該點處長度比等于1的方向。在式（8）中令 1μ=并整理有

這是關于等距方向d/dv u的一元二次方程，解之有

上式即為等距變換曲線的微分方程式，兩族解分別對應兩族等長變換曲線。下面以雙曲拋物面為例說明其可展切曲面的構造及映射分析。

3 應用舉例

3.1 雙曲拋物面的可展切曲面

雙曲拋物面的方程

取 Γ 曲線為 y= 0的截線，這時有b(u ? v) = 0,即 u = v，令 u = t,v = t，并代入雙曲拋物面的方程，可得該截線的方程：r(t) ={2 at, 0,2t2}，該截線為在xoz平面內且經過原點的拋物線。將 u = t,v = t代入法矢公式有

由于 l( t)為常矢量（y方向的單位矢量），所以，可展切曲面為過拋物線 r (t) ={2 at, 0,2t2}，且母線與y軸平行的拋物柱面，具體地

3.2 雙曲拋物面與其可展切曲面間的映射分析

3.2.1 建立映射關系

映射時，設雙曲拋物面上的點A沿z軸方向映射到拋物柱面上點A1， A和A1具有相同的x和 y坐標，根據式（11）和式（12）有a(u + v) = 2 at,b(u - v) = w ，從中可解出將其代入式（11），得到以 ,tw為參數的雙曲拋物面方程

由式（12），可得拋物柱面的第1基本量r1t={2 a,0,4 t } ,r1w={0,1,0}

3.2.2 映射分析

1） t曲線長度的相對變化

對于t曲線有

可見，t曲線相對長度的變化為零，即兩曲面對應的t曲線具有相同的長度。

2） w曲線長度的相對變化

對于w曲線有

式（15）為w曲線相對長度變化的表達式，圖 4為相對長度變化曲線（ a = 3,b = 2，w1= 0,w2= w ）。由圖4可見，隨著w的增加，w曲線的相對長度變化迅速增大。

圖4 w參數曲線相對長度變化

3） 對應區域面積的相對變化

式（16）是對應區域面積相對變化的表達式，圖 5是對于區域 t1= 0,t2= t;w1= 0,w2=w的面積相對變化情況（ a = 3,b = 2），由圖5可見，參數t對相對面積變化影響較小，而參數w則影響較大。

圖5 對應區域面積的相對變化

4） 參數曲線交角的相對變化

對于拋物柱面，因為10F= ，所以1/2 A π=對于雙曲拋物面有

式（17）是參數曲線交角相對變化的表達式，顯然，對于Γ曲線：因 為w =0, 所以有δA= 0。圖 6是參數曲線交角的相對變化曲線（ a = 3,b = 2），圖6中顯示，參數曲線交點離原點越遠，交角相對變化越大，且變化值相對于曲面原點呈中心對稱分布。

5） 極值變換曲線

由式（9）有

圖6 參數曲線交角的相對變化

解此微分方程，可得兩族極值變換曲線。圖7是過點 t= 0.5， w=?5 ,?4 ,… ,5的極值變換曲線，其中一條變形取最大值，另一條取最小值。圖8是極值變換曲線在雙曲拋物面上的映射結果。

圖7 極值變換曲線

圖8 雙曲拋物面上的極值變換曲線

6） 等距變換曲線

由式（10）有

解此微分方程可得另一族等距變換曲線。圖9是過點 t= 0.5，w =? 5,? 4.75,? 4.5…諸點的等距變換曲線，圖 10為其在雙曲拋物面上的映射結果。

7） 綜合分析

在雙曲拋物面與其可展切柱面的映射中，因t曲線長度沒有變化，所以兩曲面在t參數方向上有著很好的接近程度；而在w參數方向上，隨著參數的增大，w曲線的長度以近平方速度迅速增大，這也導致對應區域面積變化以相同趨勢迅速增大和兩曲面的迅速離開；參數曲線交角變化隨著兩參數的增加約呈線性趨勢增加。過曲面上任意對應點，隨著切方向變化，長度比分別兩次取極值和零值，對應著過該點的兩條極值和兩條等距變換曲線。在雙曲拋物面近似展開和平面與雙曲拋物面的紋理映射時，t參數方向可取較大范圍，而w參數方向上應取較小范圍以控制誤差；紋理中主要幾何要素若取在等距變換曲線上，能有效控制映射中的變形。

圖9 等距變換曲線

圖10 雙曲拋物面上的等距變換曲線

4 結 束 語

本文提出了構造曲面片的可展切曲面及它們間映射分析的方法，并給出了應用舉例。曲面片的可展切曲面可以應用于曲面結構設計、不可展曲面的近似展開、平面與曲面間的紋理映射等場合，有利于提高曲面成形及曲面映射的精度；曲面片與其可展切曲面間的映射分析便于較準確地把握曲面的變形情況，可用于曲面近似展開的精度分析與誤差校正、紋理映射時的變形控制等場合。

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The developable tangent curved surface of a surface patch and mapping analysis between them

Mao Xin, Yang Jinglin, Ma Mingxu
( Mechanical Engineering and Automation School, Northeast University, Shenyang Liaoning 110004, China )

Based on the developable curved surface theory of differential geometry, the method to construct the developable tangent curved surface passed a curve on a curved surface is put forward, the expression form and type division of the developable tangent curved surface is given, the overall and partial mapping analysis between two surfaces is realized through establishing the mapping relationship of them and the deformation of surface is grasped accurately. The method is validated by example and can be applied to the design and approximate development of curved surface and surface texture mapping.

geometry calculation; developable tangent curved surface; mapping between surfaces; deformation analysis

TB 21

A

2095-302X (2012)06-0031-07

2011-04-17；定稿日期：2011-06-07

毛 昕（1954-），男，吉林長春人，教授，碩士，主要研究方向為計算機圖形學及輔助設計、理論與應用圖學。E-mail：ddmx54@sina.com