以理想角度作兩點(diǎn)透視圖的一種簡畫法

邱 冰， 張 帆,

（1. 南京林業(yè)大學(xué)風(fēng)景園林學(xué)院，江蘇 南京 210037；2. 東南大學(xué)建筑學(xué)院，江蘇 南京 210096）

在建筑設(shè)計(jì)領(lǐng)域里，隨著繪圖軟件的普及和升級(jí)，計(jì)算機(jī)取代了傳統(tǒng)制圖工具成為繪制建筑方案終結(jié)性表現(xiàn)圖的主要工具。但手工繪制建筑透視圖的技術(shù)仍然具有重要用途，比如在方案構(gòu)思時(shí)，手工繪圖使思維、圖像、眼睛和手之間的互動(dòng)更為流暢。再如快速建筑設(shè)計(jì)是建筑學(xué)研究生入學(xué)考試和設(shè)計(jì)單位招聘面試的必考科目，手工繪制的建筑透視圖被視作衡量考生專業(yè)素養(yǎng)的重要依據(jù)。

多數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)為，在考試中按照透視學(xué)的方法求解透視圖比較費(fèi)時(shí)，考生一般憑經(jīng)驗(yàn)繪制，因此常出現(xiàn)圖中建筑形體變形或體量偏差較大等弊病，影響了設(shè)計(jì)信息的正常表達(dá)。筆者通過多年的建筑制圖教學(xué)實(shí)踐，總結(jié)出以理想角度作兩點(diǎn)透視圖的一種簡畫法，這一方法立足于尺規(guī)作圖，適用于方案構(gòu)思階段表現(xiàn)圖的繪制，在快速建筑設(shè)計(jì)中更能顯示其優(yōu)越性。

1 相關(guān)研究概述

透視圖的基本求法有2種：視線法（或稱平面投形法①關(guān)于建筑制圖的假設(shè)依據(jù)，目前我國主要采用“投影”概念，透視圖被稱為“中心投影”，但有極少數(shù)的文獻(xiàn)采用的是“投形”概念，如東南大學(xué)建筑學(xué)院鐘訓(xùn)正院士編著的《建筑制圖》。筆者在教學(xué)中選用的教材為鐘先生的《建筑制圖》，因而將“視線法”稱為“平面投形法”。“投影”和“投形”這兩套體系在理論解釋上有差異，但作圖結(jié)果一致。）和量點(diǎn)法。長期以來，國內(nèi)的學(xué)者在此基礎(chǔ)上從各種角度切入研究透視圖的畫法，主要分為3個(gè)方向：

1）原理的數(shù)據(jù)化。一些研究者致力于將透視原理轉(zhuǎn)換為計(jì)算機(jī)編程語言，促進(jìn)“人畫”轉(zhuǎn)變?yōu)椤皺C(jī)畫”[1-6]。個(gè)別文獻(xiàn)則是為了探求以透視圖反求出具體尺寸[7]的方法，指導(dǎo)三視圖的設(shè)計(jì)。

2）輔助工具的開發(fā)。具體研究分2種思路展開：物質(zhì)化的透視尺和圖紙中的透視網(wǎng)格。同濟(jì)大學(xué)研制的一種“四連桿”的透視圖儀通過了正式鑒定，并于1984年5月在南京舉辦的全國建筑科技成果交流、交易會(huì)上展出，得到好評(píng)[8]。于習(xí)法等通過研究兩點(diǎn)透視圖中2個(gè)滅點(diǎn)和與之相對(duì)應(yīng)的2個(gè)量點(diǎn)之間的幾何關(guān)系，設(shè)計(jì)了一個(gè)以丁字尺為主體的透視圖尺[9]。李孝宋在“建筑透視圖的解析畫法”一文中展示了一種透視坐標(biāo)網(wǎng)格，用于繪制具有復(fù)雜外形的建筑的透視圖[10]。與此類似，麥俊年采用透視坐標(biāo)計(jì)算的方式設(shè)計(jì)出一種“不懂透視的人”也能使用的透視軸測尺[11]。

3）透視圖的簡畫法研究。一部分文獻(xiàn)側(cè)重于研究某些特定情況下的簡畫法，如許有倫提出了滅點(diǎn)在圖外時(shí)不求滅點(diǎn)而用幾何作圖求作長方體的兩點(diǎn)透視圖的方法[12]；李強(qiáng)提出了滅點(diǎn)在圖外時(shí)采用“分量點(diǎn)”的透視圖畫法[13]；劉興辰研究了視平線在圖紙外時(shí)透視網(wǎng)格的簡易畫法[14]。另一部分文獻(xiàn)則旨在簡化作圖步驟，增強(qiáng)作圖的靈活性，如李武生分析了量點(diǎn)法的構(gòu)圖規(guī)律和函數(shù)關(guān)系，使滅點(diǎn)和相應(yīng)量點(diǎn)的關(guān)系數(shù)據(jù)化[15]，省略了根據(jù)平面圖、視點(diǎn)求滅點(diǎn)、量點(diǎn)的步驟；于習(xí)法等人提出了一種“隨心所欲”[16]的畫法；宋業(yè)存探討了形成“理想透視圖”的物體、視點(diǎn)的位置[17]。

總結(jié)以上研究的主要成果，可歸納出：第一，大部分文獻(xiàn)偏重于研究透視原理中的數(shù)據(jù)關(guān)系，論證過程和結(jié)果以公式計(jì)算為主，對(duì)于“機(jī)畫”極為必要，但對(duì)于“人畫”則顯得繁瑣，必須熟記計(jì)算方法，方可作圖；第二，多數(shù)文獻(xiàn)所運(yùn)用的原理單一，較少地考慮原理之間的協(xié)同作用，如文獻(xiàn)[13]和文獻(xiàn)[16]結(jié)合即可產(chǎn)生更為巧妙的方法；第三，透視圖輔助工具的使用均有一定的規(guī)則和條件，在快速建筑設(shè)計(jì)和方案構(gòu)思中顯得不夠簡便，易打斷快速作圖和思考過程的連續(xù)性。

2 “簡畫”的基本思想

為了方便表述，首先將透視符號(hào)術(shù)語統(tǒng)一如下：

1）P.P.：透視畫面（Perspective Plane）

2）Mx、My：量點(diǎn)（Measuring point）

3）Vx、Vy：滅點(diǎn)（Vanishing point）

4）E：視點(diǎn)(Eye point)

5）H.L.：視平線（Horizon line）

6）G.L.：地平線（Ground line）

7）T.H.：真高線（True Height）

在手工繪制透視圖時(shí)，一般不采用視線法求解，因?yàn)橐暰€法必須利用平面圖作圖，圖幅較大，但所得透視圖卻極小。在實(shí)踐中，繪圖者大多運(yùn)用量點(diǎn)法作圖。但量點(diǎn)法的作圖過程存在如下問題：首先為求得理想角度需反復(fù)試驗(yàn)E點(diǎn)的位置和視角的取值；其次在兩點(diǎn)透視圖中，如果所得建筑透視圖的高度不小于10cm，且兩個(gè)滅點(diǎn)都在圖面內(nèi)，那么圖幅至少為A2（雖然已遠(yuǎn)優(yōu)于視線法，但仍不夠理想），工具為90 cm規(guī)格的丁字尺；第三，透視圖在圖中位置受到滅點(diǎn)的限制。針對(duì)這些問題，文章嘗試從以下4方面尋求突破點(diǎn)：

（1）簡化作圖程序，省略根據(jù)平面圖、視點(diǎn)求滅點(diǎn)、量點(diǎn)的步驟，直接求得效果理想的透視圖形；

（2）簡化作圖條件，縮小作圖所需的圖幅，使透視圖在圖紙版面中的位置基本不受限制；

（3）簡化作圖工具，避免采用計(jì)算的方式和特殊的輔助工具，使用普通圓規(guī)和盡可能短的直尺作圖，簡化作圖動(dòng)作；

（4）整合簡畫原理，不能孤立地研究上述3點(diǎn)的簡畫方法，應(yīng)使它們發(fā)揮協(xié)同作用，最大限度的簡化作圖過程，縮短作圖時(shí)間。

3 “簡畫”的原理歸納

3.1 原理1：理想角度的定位

設(shè)定透視方向x、y為垂直關(guān)系，過E分別作Ox、Oy的平行線與畫面P.P.相交得滅點(diǎn)Vx′、Vy′，則EVx′⊥EVy′，即E在以Vx′Vy′為直徑的半圓上。根據(jù)量點(diǎn)的原理，Mx、My是分別以對(duì)應(yīng)的滅點(diǎn)為圓心，以滅點(diǎn)到E的直線距離為半徑作圓與畫面P.P.相交所得的交點(diǎn)，如圖1所示。

當(dāng) Vx、Vy確定時(shí)，如圖 1所示，E可在以Vx′Vy′為直徑的半圓上滑動(dòng)，無論在哪個(gè)位置，立方體都有一個(gè)對(duì)應(yīng)的角度[18]。圖中 E1、E3對(duì)應(yīng)的透視圖形有較明顯的失真現(xiàn)象，E2則正常，此時(shí)的透視圖形處于 Mx、My之間。筆者通過反復(fù)作圖試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)滿足如下條件②令透視圖形處于Mx、My之間的參數(shù)有：同一作圖比例下物體長寬與滅點(diǎn)間距的比值、E點(diǎn)的位置、視距、O點(diǎn)的位置等，較為復(fù)雜。筆者目前尚不能給出某種包含參數(shù)的關(guān)系式來反映當(dāng)透視圖形處于Mx、My之間時(shí)E在O點(diǎn)處垂線兩側(cè)的擺動(dòng)范圍，因此，憑反復(fù)作圖驗(yàn)證得出了文中的2個(gè)條件，屬于經(jīng)驗(yàn)總結(jié)。時(shí)，透視圖形處于Mx、My之間：

1）在同一作圖比例下，VxVy長度與建筑長寬的比值要大，即主立面的滅點(diǎn)Vy遠(yuǎn)離O點(diǎn)，使其透視圖形平緩；

2）E點(diǎn)盡可能接近物體的O點(diǎn)所在垂線，在其左右皆可。

以一個(gè)長方體為例，運(yùn)用上述規(guī)律求作透視圖。在圖2中，定出Vx、Vy，AOFC為主立面，為使其透視圖形平緩，Vy遠(yuǎn)離O點(diǎn)。在透視圖上方作一條平行于H.L.的直線P.P.，作Vx、Vy在P.P.上的垂足 Vx′、Vy′。以 Vx′Vy′為直徑作半圓。延長OA，在半圓上離OA較近的位置（左右皆可）取一點(diǎn) E，分別以 Vx′、Vy′為圓心，EVx′、EVy′為半徑作圓弧與 P.P.交與 Mx′、My′，反求出 H.L.上的Mx、My。求得的長方體透視圖處于Mx與My之間，圖形效果理想。基于這種以理想角度求解建筑透視圖的方法能較好地表現(xiàn)建筑形象，并省略了根據(jù)平面圖、站點(diǎn)求滅點(diǎn)、量點(diǎn)的步驟。但缺點(diǎn)是未能解決圖幅較大的問題，且Vx、Vy必須在圖板內(nèi)。

3.2 原理2：滅點(diǎn)在圖板外時(shí)的透視求法

當(dāng)滅點(diǎn)Vy在圖板外時(shí)，如果不借助于上述文獻(xiàn)中的輔助工具或方程式，僅憑尺規(guī)作圖，則需通過設(shè)置輔助滅點(diǎn)來求解垂直面和水平面上往 y方向消失的透視線。

如圖3所示，已知G.L.和 H.L.和由B往V1方向消失的透視線及高度AB、AC、AD，求A、C、D向V1方向消失的透視線。在G.L.上任作一垂線 A′B′=AB，在該垂線上量 A′C′= AC、A′D′=AD。在 H.L.上任取一點(diǎn) V，連 B′、C′、D′、A′與V。VB′交 B往 V1方向消失的透視線于 b，過 b作垂線分別交 V A′、V C′、V D′于 a、c、d 點(diǎn)。由透視基本規(guī)律可知，Aa、Cc、Dd均為往V1方向消失的透視線。這一原理解決了垂直面上水平線的消失問題，其中V為輔助滅點(diǎn)，A′B′為輔助真高線。

圖3 滅點(diǎn)在圖板外時(shí)垂直面上透視線的求法

水平面上往y方向消失的透視線可利用輔助滅點(diǎn)V45來求得。以圖2中的長方體為例，如圖4所示，平分直角∠DAB，得∠B2AB=45°。ABB2B1為正方形，AB2為對(duì)角線，過E作AB2的平行線交P.P.于V45。在透視圖中，通過Mx、My求得B、B1的透視 b、b1，連 b1、Vx得 B1B2的透視線，連A、V45交b1Vx于b2，bb2即為B往y方向消失的透視線。滅點(diǎn)在圖板外時(shí)的透視求法大幅度縮短了作圖直尺的長度：30cm即能滿足使用要求。

圖4 滅點(diǎn)在圖板外時(shí)水平面上透視線的求法

3.3 原理3：分量點(diǎn)的用法

當(dāng)一個(gè)滅點(diǎn)在圖板外時(shí)，原理1中圖2所示的方法因缺少條件而無法求得量點(diǎn)，這時(shí)可通過相似形來反求量點(diǎn)、滅點(diǎn)。如圖5所示，通過任意設(shè)置一個(gè)輔助點(diǎn)T將Vx、Vy、Mx、My、E所形成的幾何關(guān)系進(jìn)行等比例縮小。在以VxVy為直徑的半圓上方任意位置畫一條與 H.L.平行的直線H.L.′，連 T 與 Vx、Vy、Mx、My、E，分別交 H.L.′與 Vx′、Vy′、Mx′、My′、E′，求得一個(gè)等比例縮小的相似形。在無法直接通過Vx、Vy求取Mx、My時(shí)，便可利用這個(gè)縮小的相似形進(jìn)行反求。Mx′、My′被有的文獻(xiàn)稱為分量點(diǎn)[13]，按這一邏輯，可稱 Vx′、Vy′為分滅點(diǎn)。如果作圖需要用到輔助滅點(diǎn)如 V45，也可用這個(gè)方法求取。分量點(diǎn)的原理解決了一個(gè)滅點(diǎn)在圖外時(shí)原理1的應(yīng)用問題，并大幅度縮小了作圖圖幅。

圖5 以相似形求量點(diǎn)、滅點(diǎn)

4 “簡畫”的原理整合與作圖驗(yàn)證

經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，整合上述3點(diǎn)原理的關(guān)鍵是使某些關(guān)鍵點(diǎn)、輔助點(diǎn)多功能化。以圖6中建筑為例闡述3者整合過程及其應(yīng)用方法。

圖6 建筑實(shí)例的平、立面

步驟 1 原理1的應(yīng)用。在圖7中，按比例定視高，一般取H=1.6 ～1.7米，建立H.L.、G.L.。根據(jù)圖面排版需要在G.L.定O點(diǎn)，作真高線T.H.，按比例量取OA高度。過A點(diǎn)往y方向作透視線，盡量遠(yuǎn)離H.L.，使該立面的透視平緩，Vy在圖板外。于OA另一側(cè)定Vx，為作圖方便，將Vx放在圖板內(nèi)。

圖7 分滅點(diǎn)的求取

步驟 2原理2與原理3的整合。如圖7所示，在A點(diǎn)上方某一位置作一條平行于H.L.的直線H.L.′，延長OA至T點(diǎn)（T點(diǎn)位于H.L.′上方任意位置）。過A點(diǎn)往y方向量取A′點(diǎn)，AA′等于建筑主立面的面寬nLy（n為比例因子），過A′作垂線 O′A′，反向延長至 T′點(diǎn)，令 A′T′= A T。連 A′、T′與 Vx，其中 A′Vx交 AVy于 a′。過 a′作垂線，交T′Vx于 t′，連 T、 t′。按照原理 2，T t′為往 Vy方向消失的透視線。T t′與 H.L.′的交點(diǎn)為 Vy′，即原理3中的分滅點(diǎn)。連T、Vx交H.L.′得另一分滅點(diǎn)Vx′。為方便后續(xù)作圖，可擦除 A′Vx、T′Vx、t′、a′。這一步驟中，在真高線上的T點(diǎn)使Vx具有2種功能：① 原理2圖3中的輔助滅點(diǎn)V；② x方向的滅點(diǎn)。T點(diǎn)本身也具有2種功能：① 原理2圖3中的B點(diǎn)；② 原理3中的輔助點(diǎn)T。T、Vx的多功能化使原理1在一個(gè)滅點(diǎn)缺失時(shí)仍能發(fā)揮作用，求得的 Vx′、Vy′使原理 3的應(yīng)用具備了條件。

步驟 3原理1與原理3的整合。在圖8中，以Vy′Vx′為直徑作半圓，并于T（O）所在垂線附近取一點(diǎn) E′（保證透視圖形在兩個(gè)量點(diǎn)內(nèi)部），分別求出分量點(diǎn) Mx′、My′及輔助滅點(diǎn) V45′，與 T連，反向延長至H.L.，反求出Mx、My和V45。連A′My、O′My，得 b、c，求出建筑主立面的面寬。由于T及A′O′位置的選擇，巧妙地使My具有了2個(gè)作用：① y方向的量點(diǎn)；② 求y方向垂直面上透視線的輔助滅點(diǎn)，相當(dāng)于原理2圖3中的V點(diǎn)。

圖8 量點(diǎn)的反求

步驟 4量點(diǎn)法一般原理的應(yīng)用。在以上步驟的基礎(chǔ)上，按照原理2的方法利用My、V45及量點(diǎn)法的一般原理完成余下的內(nèi)容。在利用量點(diǎn)Mx、My時(shí)，可在 G.L.或 A點(diǎn)所在水平線上分別量取，減少作圖線的相互干擾。若要精確作圖，可在G.L.下方再作一條G.L.′，用其求出建筑的透視平面，再回到H.L.上進(jìn)行量高，作出完整的建筑透視圖，如圖9所示。

圖9 完整的作圖結(jié)果

在實(shí)際運(yùn)用這種以理想角度作兩點(diǎn)透視圖的簡畫法時(shí)，繪圖者不必完全按照?qǐng)D9的過程作圖，可依據(jù)需要進(jìn)行取舍。步驟1至3是建筑透視圖具有理想的角度、準(zhǔn)確的體量的保證。步驟4中利用My求垂直面上的透視線的作法方便、快速，建筑立面上的量高應(yīng)按此方法作圖。水平面上往y方向的透視線可酌情求取：反映建筑形體轉(zhuǎn)折的透視線利用V45來準(zhǔn)確求取；而對(duì)于一些無關(guān)緊要的透視線，比如門窗凹進(jìn)的厚度則完全可以按照經(jīng)驗(yàn)估計(jì)。如此，可進(jìn)一步提高作圖速度。在方案構(gòu)思表現(xiàn)和快速建筑設(shè)計(jì)中，不必苛求每一處透視線、透視寬度的絕對(duì)精確，只需保證透視大關(guān)系和建筑體量準(zhǔn)確，能正確表現(xiàn)設(shè)計(jì)信息即可。

5 結(jié) 束 語

綜上所述，如能巧妙地整合透視原理中的各種幾何關(guān)系，可得到簡潔、有效的作圖方法。從透視學(xué)的基本原理中歸納出的3條特殊原理各具特點(diǎn)：原理1界定了建筑透視圖的理想角度，簡化了作圖的準(zhǔn)備工作；原理2大幅度縮短了作圖直尺的長度；原理3大幅度地縮小了按透視學(xué)原理作圖所需要的圖紙幅面。文中的簡畫法通過使關(guān)鍵點(diǎn)、輔助點(diǎn)多功能化，利用原理2融合了原理1和原理3，充分發(fā)揮出了3者的協(xié)同作用，從而同時(shí)簡化了作圖程序、條件和工具。無須計(jì)算，無須事先根據(jù)平面圖確定畫面和視點(diǎn)等的位置及視角的大小，無須采用特殊的作圖儀器，利用普通尺規(guī)便可輕松地畫出表現(xiàn)效果理想的透視圖。希望該方法對(duì)建筑師和在校學(xué)生在進(jìn)行設(shè)計(jì)方案的快速構(gòu)思、手繪效果圖的創(chuàng)作及參加快題考試時(shí)能發(fā)揮一定的功效。

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