基于小波變換估計噪聲方差的輪速信號卡爾曼濾波器＊

陳威 陳慧

（同濟大學 新能源汽車工程中心）

1 前言

由于輪速的干擾信號隨機性較強且受路面不平度影響較大，傳統(tǒng)的巴特沃斯、貝塞爾等數(shù)字濾波技術往往無法消除干擾的影響[1]。有學者利用小波包分析技術將干擾信號與正常信號剝離，以此為汽車輪速信號去噪[2，3]。但是小波包分析運算量較大，并不適合計算機實時運算。卡爾曼濾波是基于線性最小方差估計的濾波器，算法具有遞推性，適合計算機實時運算，因而被廣泛應用于信號去噪和濾波。但在狀態(tài)噪聲和觀測噪聲統(tǒng)計特征描述不準確的情況下，卡爾曼濾波器性能將嚴重惡化，甚至出現(xiàn)濾波失效發(fā)散等現(xiàn)象[4]。

因此，本文利用小波變換事先提取出不同輪速下的觀測噪聲標準差變化規(guī)律，再進行卡爾曼濾波，并根據(jù)輪速變化實時地自適應調(diào)整觀測噪聲方差值，從而避免了卡爾曼濾波失效問題。

2 輪速信號卡爾曼濾波器

2.1 卡爾曼濾波基本方程

不考慮控制作用，設隨機線性離散系統(tǒng)的方程為：

式中，Xk是系統(tǒng)的狀態(tài)序列；Zk是系統(tǒng)的觀測序列；Wk-1是系統(tǒng)過程噪聲；Vk是系統(tǒng)觀測噪聲；Φk,k-1是系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；Γk,k－1是噪聲輸入矩陣；Hk是觀測矩陣。

隨機線性離散系統(tǒng)基本卡爾曼濾波方程[5]：

2.2 輪速估計的系統(tǒng)狀態(tài)空間模型

設 t時刻的輪速值為 ω（t），在 t時刻將 ω（t）按泰勒公式展開[6]，取2階導數(shù)項：

對式（4）求1階導數(shù)和2階導數(shù)：

式中，Δt是 t時刻領域內(nèi)任一時刻；w1（t）、w2（t）和 w3（t）是泰勒展開余項。

若采樣時間為 T，則將式（4）、式（5）和式（6）進行離散化，可以得到卡爾曼濾波的系統(tǒng)狀態(tài)空間模型：

根據(jù)文獻[7]，假設系統(tǒng)過程噪聲Wk和觀測噪聲Vk皆為零均值白噪聲，且系統(tǒng)過程噪聲方差為（經(jīng)試驗分析=4.4），故其矩陣為：

但是，系統(tǒng)觀測噪聲方差Rk在未知噪聲統(tǒng)計特征的情況下難以確定，因此在卡爾曼濾波前必須事先分析確定觀測噪聲的統(tǒng)計特征。

2.3 不準確的觀測噪聲統(tǒng)計特征對濾波性能影響

一般而言，不準確的觀測噪聲方差會污染卡爾曼濾波器，導致其給出的結果嚴重偏離真值，不能反映狀態(tài)估計精度。

利用MATLAB/Simulink仿真軟件，更能直觀地表明觀測噪聲方差不準確對濾波性能的影響，如圖1所示。仿真模型中真實信號為幅值10 r/min、偏置100 r/min的正弦輪速信號。在真實信號上疊加方差為 0.1的噪聲信號，利用式（7）～式（11）所構建的卡爾曼濾波器進行濾波去噪。在卡爾曼濾波迭代算法中所采用的觀測噪聲方差為真實方差的0.1～10倍。圖1中橫坐標表示計算用噪聲方差和真實噪聲方差的倍數(shù)關系，縱坐標為卡爾曼濾波器輸出估計值方差。從圖1可以看出，在真實噪聲方差附近，即圖1中橫坐標為1處，實際估計值方差最小。當計算用噪聲方差和真實噪聲方差相差變大時，實際估計值方差也將變大。因此，在先驗信息不完全的情況下，采用與真實噪聲方差相差較多的觀測噪聲方差進行卡爾曼濾波無法體現(xiàn)狀態(tài)濾波的精度。

2.4 小波變換提取輪速信號噪聲統(tǒng)計特征

本文研究平臺是某分布式驅(qū)動電動汽車，圖2為其實際測得的某個車輪輪速信號，該信號來自于輪轂電機中的旋轉(zhuǎn)變壓器。從圖2中可以看出，輪速增大時噪聲信號的干擾強度隨之增大。

若觀測噪聲的統(tǒng)計特征發(fā)生變化，僅依靠固定的觀測噪聲方差對觀測噪聲進行描述不可取，需要自適應調(diào)整觀測噪聲方差來進行實時估計。

根據(jù)Stone－Weierstrass理論可知，任一有界閉區(qū)間的連續(xù)函數(shù)都可以由該區(qū)間內(nèi)的多項式以任意精度一致逼近[8]。

輪速信號u（t）可以表示為：

式中，γi為多項式系數(shù)（i=1，2，…，L）。

則觀測含噪聲的序列可表示為：

式中，δ（t）為噪聲信號。

設 φa（t）是一個小波函數(shù)，且有：

式中，a是尺度因子。

對z（t）的小波變換可表示為：

式中，*為卷積運算。

若 φ（t）有M 個消失矩，且有一個正整數(shù) k，滿足 k＜M，則：

因此，當選擇有K（K＞L）消失矩的小波函數(shù)φ（t）時，z（t）的小波變換就抑制了信號而保留了噪聲分量，則：

在t時刻的標準差估計值為：

式中，a 取 0.5；Med（）為中值函數(shù)。

因此，在輪速傳感器觀測噪聲未知的情況下，可利用小波變換分析該輪速信號噪聲。選擇2 s作為觀測序列窗口的時間長度，每往觀測方向上移動0.2 s就觀測窗口一次，直至遍歷所有序列為止，具體如圖3所示。

觀測小波選擇使用消失矩為7的經(jīng)典DB小波，利用式（18）觀測滑動窗口中序列并估計出噪聲的標準差（標準差的平方即為方差）。利用2次曲線

擬合所有滑窗中觀測序列結果如圖4所示。

從圖4可以看出，輪速噪聲的標準差隨著輪速增加近似成2次曲線增長。因此，在輪速信號卡爾曼濾波器中，Rk的取值隨著輪速變化進行自適應調(diào)整，整體估計算法流程如圖5所示。

3 試驗結果

利用裝有4個輪轂電機的某分布式驅(qū)動電動汽車研究平臺進行實車試驗數(shù)據(jù)采集，如圖6所示。利用dSPACE公司的MicroAutobox采集車輪輪速數(shù)據(jù)，采樣頻率為100 Hz。

為保證盡可能排除轉(zhuǎn)向和路面傾斜對輪速測量的影響，試驗選擇在一條平坦、干燥、長約300 m的瀝青路面上進行。記錄旋轉(zhuǎn)變壓器輸出的輪速信號，隨后在計算機上利用事先編譯好的自適應卡爾曼濾波器進行離線濾波處理，此時4個車輪的輪速信號已經(jīng)經(jīng)過小波變換事先提取出其噪聲的統(tǒng)計特征。

圖7和圖8分別給出了試驗車輛在加速和減速2種工況下某個車輪輪速的測量原始信號和自適應卡爾曼濾波后的信號。

從圖7和圖8中可以看出，自適應卡爾曼濾波器能夠適應加速和減速2種基本工況，而且濾波效果平滑，輪速信號延時小，響應較快，即經(jīng)過濾波后的輪速信號可以用來估計縱向車速等車輛狀態(tài)量。

為了表現(xiàn)自適應卡爾曼濾波器的優(yōu)勢，在試驗數(shù)據(jù)處理時加入了非自適應卡爾曼濾波器的處理結果進行對比，如圖9所示，非自適應卡爾曼濾波器采用一個固定的觀測噪聲方差Rk。從圖9可以看出，與非自適應卡爾曼濾波后輪速信號相比，自適應卡爾曼濾波后輪速信號曲線平滑，受噪聲影響較小。當輪速增大至一定數(shù)值后，實際觀測噪聲方差將大于這個固定值，因此非自適應卡爾曼濾波器中的計算用觀測噪聲方差Rk將變得不準確，顯著降低了其濾波去噪功能。而自適應卡爾曼濾波器可以自動調(diào)整觀測噪聲方差值，保證了卡爾曼濾波器的濾波效果。

4個車輪的輪速信號噪聲統(tǒng)計特征由于受機械磨損或電磁干擾等影響，可能會存在一定差異。因此針對不同的車輪輪速信號可以使用不同的自適應系統(tǒng)觀測噪聲方差Rk來調(diào)整其卡爾曼濾波器，使估計算法準確地跟隨觀測信號噪聲變化。

4 結束語

搭建了輪速信號卡爾曼濾波器，并使用小波分析工具事先提取了觀測噪聲的統(tǒng)計特征，利用2次曲線擬合出噪聲的統(tǒng)計規(guī)律，確定了卡爾曼濾波器中的系統(tǒng)觀測噪聲方差值并進行了自適應調(diào)整。試驗結果表明，該估計算法能適應輪速信號噪聲方差的變化，結構簡單、計算量小，有效避免了在未知觀測噪聲條件下卡爾曼濾波出現(xiàn)失效問題。

1 蔣克榮，唐向清，朱德泉.基于改進閾值小波算法的汽車輪速信號處理.儀器儀表學報，2010，4（31）:736～740.

2 蔣克榮，許澤銀，高榮.汽車輪速信號的小波包分析.微計算機信息，2010，26（3－2）:22～24.

3 蔣克榮，許澤銀，高榮.小波包方法在汽車輪速信號處理中的應用.現(xiàn)代制造工程，2010，5:99～101.

4 高羽，張建秋.小波變換域估計觀測噪聲方差的Kalman濾波算法及其在數(shù)據(jù)融合中的應用.電子學報，2007，1（35）:108～111.

5 付夢印，鄧志紅.Kalman濾波理論及其在導航系統(tǒng)中的應用.北京:科學出版社，2010.

6 譚德榮，張莉，王艷陽.基于自適應卡爾曼濾波的輪速信號處理技術.汽車工程，2009，6（31）:533～535，578.

7 王仁廣，劉昭度，齊志權，馬岳峰.基于自適應卡爾曼濾波算法確定汽車參考車速.農(nóng)業(yè)機械學報，2006，4（37）:9～11，41.

8 劉清，曹國華.基于噪聲方差估計和模型參考的傳感器動態(tài)補償.江蘇大學學報（自然科學版），2009，6（30）：601～605.