遍歷積分的計算與推廣

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摘 要：遍歷理論研究的是群在可測空間上作用的定性理論。這里主要分析遍歷積分的計算公式，將[0，1]區間上的遍歷積分公式推廣到實數區間上，分別用A、B兩類積分來表示有理區間和無理區間，并給出積分公式，可以看到[0，1]區間上的遍歷積分公式是提出A類遍歷積分的特例。還給出遍歷積分中變量在定義域內做遍歷運動的幾何表述。

關鍵詞：遍歷； 動力系統； 有理數； 無理數

0 引 言

遍歷理論又稱各態歷經理論，是動力系統的一個重要分支。遍歷理論主要研究群在可測空間上作用的定性理論，這些空間有某種結構（如空間是測度空間、拓撲空間或光滑流形），群中每個元素利用變換作用于空間并且保持給定的結構不變[1]。本文主要分析遍歷運動的積分公式，將單位區間[0，1]上的遍歷積分公式推廣到[0，m]區間上，其中m是大于零的實數。分別討論m為有理數、無理數兩種情況，稱這兩種積分為A類積分和B類積分，并給出證明過程，然后討論了這兩類積分的關系，最后，用圓周來描述遍歷運動。