遍歷積分的計(jì)算與推廣

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摘 要：遍歷理論研究的是群在可測(cè)空間上作用的定性理論。這里主要分析遍歷積分的計(jì)算公式，將[0，1]區(qū)間上的遍歷積分公式推廣到實(shí)數(shù)區(qū)間上，分別用A、B兩類(lèi)積分來(lái)表示有理區(qū)間和無(wú)理區(qū)間，并給出積分公式，可以看到[0，1]區(qū)間上的遍歷積分公式是提出A類(lèi)遍歷積分的特例。還給出遍歷積分中變量在定義域內(nèi)做遍歷運(yùn)動(dòng)的幾何表述。

關(guān)鍵詞：遍歷； 動(dòng)力系統(tǒng)； 有理數(shù)； 無(wú)理數(shù)

0 引 言

遍歷理論又稱(chēng)各態(tài)歷經(jīng)理論，是動(dòng)力系統(tǒng)的一個(gè)重要分支。遍歷理論主要研究群在可測(cè)空間上作用的定性理論，這些空間有某種結(jié)構(gòu)（如空間是測(cè)度空間、拓?fù)淇臻g或光滑流形），群中每個(gè)元素利用變換作用于空間并且保持給定的結(jié)構(gòu)不變[1]。本文主要分析遍歷運(yùn)動(dòng)的積分公式，將單位區(qū)間[0，1]上的遍歷積分公式推廣到[0，m]區(qū)間上，其中m是大于零的實(shí)數(shù)。分別討論m為有理數(shù)、無(wú)理數(shù)兩種情況，稱(chēng)這兩種積分為A類(lèi)積分和B類(lèi)積分，并給出證明過(guò)程，然后討論了這兩類(lèi)積分的關(guān)系，最后，用圓周來(lái)描述遍歷運(yùn)動(dòng)。