數學化生長路徑探尋

中圖分類號：G623.56 文獻標志碼：B 文章編號：1673-4289（2012）02-0041-03

《教育科學論壇》2011第6期上“洋溢著數學智慧的符號化陳述課——特級教師鄭大明《○與□玩數學》教學實錄與評析”一文，站在小學階段學生知識整體建構和能力全面提升的高度，全方位審視了對應中的數學問題。教者在有效激活學生已有知識經驗的基礎上，引導學生運用數學的方法觀察現實世界，將第一學段中的對應、比較、數形結合等思想方法進行系統化學習與符號化陳述，分析研究其中的各種具體現象，并加以整理，發現規律，凸顯數學本質，成功探索出一條對應關系數學化生長路徑，為數學思想方法的教學提供了很好的借鑒。

片段一：玩游戲，創設活動經歷數學化情境

師：下面來玩搶凳子的游戲。

（第一輪：4人2張凳子）

師：請兩位男同學和兩位女同學上臺來。我先給大家編個號，不然誰贏了都不知道。

（1、2、3、4的號碼貼在學生胸前，學生隨鼓聲繞凳子走動。停止時，四人全部擠到兩張凳子上，全班大笑）

師：一人只能坐一張凳子，現在看看幾個人坐了一張凳子？再搶一次。

師：現在是幾號先搶到了？

生：2號和3號。

師：2號和3號搶到了。為了別忘記，怎樣記錄比賽結果呢？

生1：用筆寫在本子上。

生2：看他是幾號。

生3：找規律。

師：哦？找規律？把誰贏了的結果記下來。請看，老師用1、2、3、4這四個號碼表示同學，○表示椅子（如圖1）。

師：現在哪些同學搶到了凳子？

生：2號和3號。

師：好，我們給他們記一個符號。

（課件：在2號和3號□下面各記上一個○）

第二輪游戲，4人4張凳子。活動結果記錄下來（如圖2）……

師：一人一張凳子這種現象在數學上應該給它取個什么名字呢？

生1：平均分，

生2：人凳相等，

生3：一模一樣，

生4：一人一張。

師：在數學上有專門的名詞：對應。（板書：對應）又叫“一一對應”。可以簡稱它“一對一”。（老師板書：1對1）

【賞析】教者創設了玩游戲搶椅子活動情景，讓學生在享受玩樂的同時，從中感悟游戲規則，體會符號記錄結果的必要性。第一輪四人搶兩凳游戲，初步感知生活中的對應現象，知道了如何記錄游戲結果。教學打破原有認知與現實需要間的平衡，激發認知沖突，為學生用數字及○等數學符號陳述生活事實創設了恰當的情境。接著又通過改變游戲規劃，從四人搶兩凳到四人搶四凳，讓學生從“一人對應一張凳子”的直觀方式中，初步建立對應的觀念，巧妙地引導學生認識非一一對應和一一對應。當學生在運用已有經驗陳述一一對應時，不管學生用“平均分”、“人凳相等”，還是“一模一樣”、“一人一張”等生活經驗來陳述，始終感覺不是最佳的表達，但又苦于找不到更合適的術語來陳述，從而使學生產生“心求通而不能，口欲言而勿達”的憤悱狀態和強烈探究欲望，學生主動地調度建構潛能，用數學的眼光關注情境。這樣的教學，讓情境有了數學味道，體現了數學的本源性，也為后面探究對應關系數學化提供了良好的生長環境。

片段二：找規律，借用經驗探尋數學化起點

課件出示：

（1）擺一擺：取出信封里的紙片，把形狀相同的擺在一起。

（2）比一比：先數數○和□分別有幾個，再比○和□誰多誰少。

（3）說一說：用一句話說一說○和□的個數的關系，看誰的說法多。

隨著四小組匯報依次展示。（課件出示如圖3）

師：要把第一小組○與□“1對1”，怎么辦？

生：可以增加兩個○。

師：對，增加兩個○，就成了第二組了。在上面的兩組圖形中，第一組，總數上比標準少，叫“比少”。一個一個地看，不夠“1對1”。第二組，總數上與標準相同，叫做“同樣多”。一個一個地看，正好“1對1”。下面的能夠這樣說下去嗎？

生：第三組，整體上比標準多，叫“比多”。6個○比4個□多，除了“1對1”，還有兩個。

師：第四組一個一個地對應有什么的特點？

生1：12個○比4個□多8個。

生2：一個一個地看，12個○與4個□對了三次，就是三個同樣多。

生3：一個一個地看，每個○與□也對了3次。

師：所以，我們就說是12個○是——

生：12個○是4個□的3倍。

【賞析】三年級學生在掌握抽象的數學概念或數量關系時，必須借助具體的實物圖形或感性的經驗建立直接的聯系，因此需要為對應關系數學化探尋合適的起點。教者帶領學生在擺一擺的過程中，借助○和□學具直觀形象地進行整理與分類，籠統地從外表上形成“同樣多，多，少”等概念，再引導學生反復觀察圖3，通過每組中○與□個數橫向對應，再組與組間縱向對比，借助○和□擺出了“同樣多”、“比多”、“比少”、“幾倍”的直觀形象圖式。同時，師生互動陳述對應關系本質屬性：“比少”不夠一對一，增加兩個，就成了“同樣多”（正好一對一）；“比多”，除了一對一還多兩個；“3倍”，即3次“一對一”。從而讓學生在“同樣多”的基礎上，理解多、少及幾倍這些概念之間的相互聯系，掌握同樣多、多、少及幾倍等數學概念的本質特征（即一一對應與非一一對應），實現了生活經驗與數學知識的有效對接。

片段三：換思維，巧用直觀手段過好數學化拐點

師：剛才呀，通過數一數，擺一擺，一下就看清楚了○與□的關系。如果現在老師告訴你，□被遮住了，怎樣才能很快知道有幾個□呢？

（1）知道○有4個，○與□同樣多。

師：我們怎樣想呢？看老師演示（如圖4）。

生：因為○與□同樣多，1個○應該對1個□，所以4個○對4個□。

師：4對4，如果寫成式子就是4=4。

…………

（4）知道○有12個，○是□的3倍。

師：誰知道“3倍”是什么意思？

生1：“3倍”就是要對3次。3個同樣多。

生2：“3倍”就是○個數與□要全部對3次。

師：全部對3次，那應該幾個○對1個□？

生：是3個○對1個□。

師：怎么才知道□個數？

生：12除以3，等于4。所以是4個。

師：哦，結果都算出來了。要是不能算，請你擺出來怎么辦呢？

生：把12個圓平均分成3份。每份就是4個。這里的4個圓對應4個□。

師：你的方法不錯。老師也來提供一種方法（演示如圖5，學生邊看邊說結果），請驗算一下，好嗎？

【賞析】如果說數學化前兩步主要借助的直觀形象或圖形來觀察、比較的話，這一步就是要引導從直觀形象逐步向抽象概括過渡。為了攙扶學生過好這個思維的拐點，教者一個看似簡單的動作即遮住□，實則幫助學生慢慢地脫離學具操作，調動已有表象和經驗，進行逆向思考，抽象出概念的本質屬性。運用圖示解析同樣多即“1對1”、“2對2”……“3倍”既可以從整體上看，理解為○個數與□要全部對3次，即3次一對一，還可以理解為“3對1”、“6對2”……用對應的方式和數形結合的思想建構了“同樣多、比多、比少、倍數”等概念，陳述了數量之間的相差與倍數關系。

片段四：理思路，利用符號建構數學化模型

課件出示

師：拿出○和□，擺一擺，說一說。第一題，誰給誰比？整體上看，誰多，誰少？

生：給蔬菜比。蔬菜多，水果少。

師：大家再讀一遍，看看誰給誰比？

生1：她錯了，蔬菜比水果多2種。

生2：跟水果比，蔬菜多，多2種。

師：這道題我們確定了是給水果比，是把水果看作標準，用□表示。4種水果我們就擺4個□。（邊說邊用課件出示4個□）蔬菜比水果多兩種，大家接著擺下去。看是該擺幾個○了？

生1：我擺了4種水果。

生2：我想，既然水果有4種，那蔬菜一定也有4種。

師：對，蔬菜至少也有4種，先擺4個○。（課件演示：在4個□下面擺4個○）

生：而且一個一個地看，蔬菜還多兩種，要再加兩個○。

師：說得太對了。（課件增擺2個○）算式怎么列？

生：我的算式是4＋2＝6個。（結合學生的回答，教師在課件上書寫：4＋2＝6）

師：現在看第二道題，誰給誰比？整體上看誰多誰少？……

師：現在是幾瓶可樂？算式——

生：5瓶。算式是2加3等于5。（課件出示：2＋3=5）

師：大家注意看，剛才兩個題一個是“比多”，一個“比少”，但是兩個題都用的什么方法計算的？

生：用加法計算的。

師：所以我們不能見到“多”就加法算，見到“少”就減法算，關鍵是要仔細地讀題，看清楚題目給出的是什么條件，要求的是什么問題。

【賞析】數學化的第四步就是通過從特殊到一般的演繹推理過程，分析相互之間的邏輯關系，理解構造和發展整個體系的邏輯結構，最終建立數學模型。此環節通過“擺學具—比異同—說想法—列算式”的流程，讓學生逐漸從具體形象的思維中抽象出數學模型，然后通過比較，讓學生思維經歷了從“直觀—抽象—歸納—演繹”的逐級提升過程。教者這樣的課堂組織，體現了“巧過渡”和“巧變式”。在“擺一擺”和“做一做”的習題設計中，也別具匠心，涵蓋了“…比…多…”“…比…少…”“…是…幾倍…”等知識點，并作了“巧變式”：標準量已知，求比較量；比較量已知，求標準量。而這些，只要搞明白，“跟誰比”、“誰來比”，即可“一竅通，百竅同”，從而達到以不變應萬變。最值得一提的是，通過學生經歷操作過程證明了一個認識錯誤即見“少”就用減法，見“多”就用加法。眼見為實，有理有據，最后形成了高層次的符號表征。學生之所以犯“見多就加見少就減”的錯誤，是因為他們沒有從數學本質上建構起標準量與比較量間的認知結構體系，不論是差比還是倍比，其探究本質都是先確定標準量“與誰比”，再確定比較量“誰去比”，再從整體上看誰多誰少。

本堂課教者以數學思想方法為主線，重組學生的認知結構，理清了學生在數學思想領域的一知半解和模棱兩可的對應中的數學問題。數學教育本身是個過程，它不僅是傳授知識，更重要的是在教學過程中，讓學生自己親身實踐，而抓住其發展規律，學會抽象化、形式化的方法建構數學模型。當然，我們也要認識到數學建模只是數學化的一個方面，它關注的是橫向數學化的因素，將實際問題抽象成數學模型，這個“模型”是不可缺少的一種中介。用好符號與模型，就能把復雜的現實理想化或簡單化，從而更進一步提高學生解決應用問題的能力，突出數學思想方法在數學教學中的地位和作用。

（作者單位：開縣教師進修學校，重慶 405400）