多徑條件下均勻線陣DOA估計及互耦誤差自校正?

李強，陳俊鵬，景小榮（重慶郵電大學通信與信息工程學院，重慶400065）

多徑條件下均勻線陣DOA估計及互耦誤差自校正?

李強，陳俊鵬，景小榮
（重慶郵電大學通信與信息工程學院，重慶400065）

針對多徑信道環境下存在互耦誤差的均勻線陣，提出了一種聯合波達方向估計及互耦誤差自校正算法。在不改變陣列互耦誤差的條件下，首先利用虛擬陣列平移預處理方法，將相干信源協方差矩陣恢復到滿秩。進而利用互耦誤差的對稱Toeplitz特性，基于子空間原理構造一代階函數，采用秩損的方法得到互耦誤差條件下的DOA估計及陣列互耦誤差。數值仿真結果表明，該算法具有良好的DOA估計性能與互耦誤差自校正性能。

均勻線陣；DOA估計；互耦誤差；陣列自校正；多徑信道

1 引言

在陣列測向中，以多重信號分類（Multiple Signal Classification，MUSIC）［1］為代表的子空間類算法由于具有精度高、分辨率強的優點而受到廣泛的關注。然而，該算法只有在陣列方向矢量無任何誤差的條件下才能取得良好的測向性能。但在實際應用中，由于陣列誤差等因素的存在，導致算法測向性能急劇下降［2-3］，甚至算法完全失效。因此，陣列誤差成為高分辨測向技術走向實用的主要障礙。

在散射通信環境中，由于多徑的存在，使得陣列接收到的是不同方向上的相干信號，現有大多數陣列校正算法幾乎都沒有考慮這一實際情況。空間平滑算法是一種常用的對相干源進行預處理的算法。該算法將一均勻線陣分成若干組互相重疊的子陣，得到每個子陣的協方差矩陣，最后以子陣矩陣協方差矩陣的平均值作為接收數據的協方差矩陣。但是當存在陣列誤差時，經過空間平滑之后的誤差矩陣將是一個非常復雜的矩陣，這將很難估計出陣列誤差。王布宏等人在文獻［4］中提出了一種基于加權空間平滑的算法，構造一個多徑條件下的陣列校正代階函數，最后使用遺傳算法實現陣列誤差的校正。陳德莉在文獻［5］中提出了基于加權子空間擬合的算法，構造一個多徑條件下的陣列校正代階函數，最后使用高斯-牛頓算法進行迭代搜索。但是，上述兩種算法由于復雜度過高而無法滿足實際系統對實時性的要求。

針對均勻線陣，首先使用虛擬陣列變換的方法來構建子陣，在子陣互耦誤差相同的條件下，保證信源協方差矩陣為一滿秩矩陣；然后利用均勻線陣互耦誤差矩陣帶狀和對稱Toeplitz特性，基于子空間原理，提出了一種多徑條件下均勻線陣的互耦誤差估計及DOA估計算法。本文的互耦估計算法不涉及高維非線性優化搜索，只需要多項式求根，因此算法計算復雜低，具有易于實時實現的優點。

2 陣列互耦誤差的數據模型

假設陣列與陣源共面，且陣列互耦誤差與方位無關。對于N元均勻線陣，陣元間距為d，M（M＜N）個遠場窄帶信源（包括點源和它的多徑傳播）以波長為λ的平面波入射，其入射方向為θ=［θ1θ2…θM］。以第一個陣元為參考陣元，在時刻t，陣列接收信號X（t）為

式中X（t）=［X1（t），X2（t），…，XN（t）］T；A（θ）=［a（θ1），a（θ2），…，a（θM）］為理想陣列流型矩陣；S（t）=［s1（t），s2（t），…，sM（t）］T為入射信號的復包絡矢量；a（θi）=［1 e-jφi…e-j（N-1）φi］為第i個信源的理想方向矢量，其中φi=2πd sin（θi）／λ，i=1，2，…，M；N（t）=［n1（t），n2（t），…，nN（t）］為噪聲矢量；C表示陣列互耦誤差矩陣。

均勻線陣互耦誤差矩陣可用一帶狀、對稱Toeplitz矩陣C來描述［6］，令ci，j表示矩陣C中第（i，j）個元素，p表示互耦度，則

由式（1），陣列協方差矩陣RY為

式中RS=E［S（t）S（t）H］為信源協方差矩陣，σ2表示噪聲功率，I表示單位矩陣。

式中，ΣS表示由M個大特征值組成的對角矩陣，ΣN表示由（N-M）個小特征值組成的對角矩陣，US為信號子空間，UN為噪聲子空間。

當考慮多徑傳輸所引起的相干源時，第i個窄帶入射信源可表示為

其中i=1，2，…，M。結合式（1）和式（4），陣列接收信號可進一步表示為

對應的陣列協方差矩陣RY變為

其中，η=E［s0（t）s0（t）H］。由式（7）可知，當信源完全相干時，與式（3）中對應的信源協方差矩陣RS的秩為1，當對RY進行特征值分解后，對應的信號子空間的維數為1，小于陣列流型A（θ）的秩，則與相干源相對應的陣列導向矢量不再與噪聲子空間正交，從而導致子空間類測向算法完全失效。

3 多徑條件下基于虛擬陣列平移的陣列校正算法

3.1 虛擬陣列平移解相干算法

陣列平移可利用虛擬陣列平移來實現，具體是每次將N元的均勻線陣等間距的平移一個距離d（陣元間隔），形成一個子陣系列，第i個子陣的接收矢量信號為

式中Di表示M×M對角矩陣D的i次方，其中D為

與第i個子陣相對應的協方差矩陣為

對所有子陣的協方差矩陣R1，R2，…，RL進行平均，得到

3.2 聯合互耦誤差自校正的DOA估計算法

根據子空間原理［1］：

式（12）的求解等價為如下互耦誤差及方位參數的聯合優化估計問題：

由于互耦矩陣C是一個對稱Toeplitz矩陣，通過適當變換［7］，有

其中，a為任意N維復向量，T（a）是由向量a確定的N階Toeplitz矩陣，c為由C的第一行元素構成的N維列向量。

將式（14）代入式（12）有

其中B（θi）=T（a（θi）（a）），i=1，2，…，M。由于c中不全為0，式（15）成立的充要條件是矩陣Bθ）為奇異矩陣，當且僅當取信號的真實方位時才會出現秩損，使B（變為奇異矩陣［8］。

下面給出一種將方位估計與互耦矩陣估計的參數聯合估計方法：

其中，emin［·］表示矩陣最小特征值所對應的特征矢量，det［·］表示矩陣行列式。

3.3 算法步驟

（1）根據公式（10）和（11），計算ˉR；

（2）對ˉR進行特征值分解，得到噪聲子空間的估計值；

（3）譜峰搜索，根據式（17）在［-90°+90°］范圍內搜索空間譜P（θ）的峰值，最終將搜索到的M個高峰值所對應的θ值作為信源的方位角度；

（4）將第3步搜索到的信源方位角代入公式（16）中，計算陣列的互耦誤差。

4 算法仿真

考慮一具有8個陣元的均勻線陣，陣列孔徑比為0.5，系統存在兩個信源：一個以方位20°到達接收陣列（直射徑），另外一個以方位40°到達接收陣列，相干系數為0.8ej0.3，信噪比為10 dB，采樣快拍數設定為1 024。

4.1 互耦誤差參數及DOA估計的性能仿真實驗

對于算法有效性的仿真實驗，僅考慮相鄰4個陣元之間產生的互耦誤差，假設對應的互耦因子分別為1.000 0，0.550 0+0.450 0i，-0.350 0-0.250 0i，

0.010 0-0.020 0i。圖1給出了校正前后的空間譜圖，表1給出了互耦因子的真實值與估計值。

下面對互耦誤差校正前后DOA的估計情況進行對比。從圖1可以看出，采取本文提出的互耦誤差自校正算法后，利用傳統的子空間算法可以完全估計到相干信源波達方位角，而對于未采取校正情形，傳統的子空間類算法基本上完全失效。

從表1可以看出，在上述仿真條件下，文中所給出的算法可以比較準確地估計出陣列互耦誤差。

4.2 互耦誤差估計的均方根誤差隨SNR變化的性能仿真實驗

假設第i次實驗估計到的互耦矩陣為＾Ci，信噪比（SNR）在［-5+15］間以步長1遞增，對每個SNR取值分別進行100次實驗。陣列互耦誤差的估計均方根誤差用eC表示，定義如式（18）所示。圖2給出了陣列互耦誤差隨SNR變化的關系曲線。從圖上可以看出，隨SNR增大，陣列互耦誤差的均方根誤差呈下降趨勢，這也說明本文提出的算法對互耦誤差的估計隨SNR增加越來越精確。

5 結束語

本文針對多徑環境下均勻線陣提出了一種聯合DOA估計及互耦誤差自校正算法，該算法無需迭代或者高維搜索求解，而且不受初始估計誤差的影響。計算機仿真表明，該算法具有精確的測向及互耦誤差校正性能。

［1］Schmidt R O.Multiple Emitter location and signal parameter estimation［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1986，34（3）：267-280.

［2］Weiss A J，Friedlander B.Effects of modeling errors on the resolution threshold ofthe MUSIC algorithm［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，1994，42（6）：1519-1526.

［3］Swindlehurst A，Kailath T.A performance analysis of subspace-based methods in the presence of model error：part I -the MUSIC algorithm［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，1992，40（7）：1758-1774.

［4］王布宏，王永良，陳輝.多徑條件下基于加權空間平滑的陣元幅相誤差校正［J］.通信學報，2004，25（5）：166-174. WANG Bu-hong，WANG Yong-liang，CHEN Hui.Array gain and phase Calibration in the presence of multipath based on weighted spatial smoothing［J］.Journal of China Institute of Communications，2004，25（5）：166-174.（in Chinese）

［5］陳德利，盧煥章，張聰.多徑條件下基于WSF的均勻圓陣幅相誤差自校正［J］.系統仿真學報，2008，20（17）：4563-4566. CHEN De-li，LU Huan-zhang，ZHANG Cong.UCA Gain／Phase Self-calibration in Presence of Multipath Based on Weighted Subspace Fitting［J］.Journal of System Simulation，2008，20（17）：4563-4566.（in Chinese）

［6］Friedlander B，Weiss A J.Direction finding in the presence of mutual coupling［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1991，39（3）：273-284.

［7］Fabrizio S，Alberto S.A novel mutual coupling compensation algorithm for uniform and linear arrays［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，2007，55（2）：500-573.

［8］王布宏，王永良，陳輝，等.均勻線陣互耦條件下的魯棒DOA估計及互耦自校正［J］.中國科學E輯：技術科學，2004，34（2）：229-240. WANG Bu-hong，WANG Yong-liang，CHEN Hui.，et al.Robust DOA estimation and array calibration in the presence of mutual coupling for uniform linear array［J］.Science in China Ser E，2004，34（2）：229-240.（in Chinese）

LIQiang was born in Yiyan，Hunan Province，in 1968.He received the M.S.degree from Chongqing University of Posts and Telecommunications in 2002.He is now an associate professor.His research direction is signal and information processing.

Email：y99lq＠163.com

陳俊鵬（1987—），男，重慶璧山人，2009年于重慶郵電大學獲工學學士學位，現為碩士研究生，主要研究方向為陣列信號處理；

CHEN Jun-peng was born in Bishan，Chongqing，in 1987. He received the B.S.degree from Chongqing University of Posts and Telecommunications in 2009.He is now a graduate student. His research concerns array signal processing.

景小榮（1974—），男，甘肅平涼人，2009年于電子科技大學獲博士學位，現為重慶郵電大學通信與信息工程學院副教授，主要研究方向為信號處理及傳輸。

JING Xiao-rong was born in Pingliang，Gansu Province，in 1974.He received the Ph.D.degree from University of Electronic Science and Technology of China in 2009.He is now an associate professor.His research concerns signalprocessing and transmission.

A DOA Estimation and Mutual Coupling Self-calibration Algorithm for Uniform Linear Array in the Presence of Multipath

LI Qiang，CHEN Jun-peng，JING Xiao-rong
（School of Communication and Information Engineering，Chongqing University of Posts and Telecommunications，Chongqing 400065，China）

To solve mutual coupling of uniform linear array（ULA）in the presence of multipath channel，a joint Direction of Arrival（DOA）estimation and mutual coupling calibration algorithm is proposed.Firstly，coherent source covariance matrix is restored to full rank via the preprocessing method of virtual array moving without changing the mutualcoupling.Then a costfunction is constructed based on subspace theory and is minimized by rank loss method to estimate the DOA of the signals and mutualcoupling error using the Toeplitz structure ofthe covariance matrix for ULA.Simulation results show thatthe algorithm has effective performance for DOA estimation and mutual coupling self-calibration.

uniform linear array；DOA estimation；mutual coupling；array self-calibration；multipath channel

The National Science＆Technology Major Project（2011ZX03003-001-01）；The Natural Science Foundation of Chongqing（CSTS，2010BB2417）；The Natural Science Foundation of Chongqing Municipal Education Commission（KJ110526）；The Project of Key Laboratory of Signal and Information Processing of Chongqing（CSTC2009CA2003）

TN821

A

10.3969／j.issn.1001-893x.2012.03.012

李強（1968—），男，湖南益陽人，2002年于重慶郵電大學獲碩士學位，現為副教授，主要研究方向為信號與信息處理；

1001-893X（2012）03-0314-04

2011-09-28；

2012-01-10

國家科技重大專項資助項目（2011ZX03003-001-01）；重慶市自然科學基金資助項目（CSTS，2010BB2417）；重慶市教委自然科學基金資助項目（KJ110526）；信號與信息處理重慶市重點實驗室建設項目（CSTC2009CA2003）