易拉罐形狀和尺寸的最優設計

裔晶晶，金健

（常熟理工學院數學與統計學院，江蘇常熟 215500）

易拉罐形狀和尺寸的最優設計

裔晶晶，金健

（常熟理工學院數學與統計學院，江蘇常熟 215500）

探討了易拉罐形狀和尺寸的最優設計問題.首先測量了常見易拉罐的尺寸，然后建立靜態優化模型，分別求解出了將易拉罐形狀簡化為圓柱形和圓柱、圓臺結合形的最優設計.最后，在綜合考慮外形、手感、美觀等因素的基礎上，建立了非線性規劃模型，并借助MATLAB編程得出新型易拉罐的最優設計.

最優設計；靜態優化模型；非線性規劃模型

生活中像可口可樂、青島啤酒這類飲料量約355毫升的易拉罐擁有相同的形狀和尺寸，考慮到其銷量可能大至幾億，甚至幾十億，那么我們認為指定形狀后的最優設計就是最省料的設計.本文建立模型解決圓柱形及圓柱圓臺組合形易拉罐的最優設計問題，并在節省材料和人性化的基礎之上設計出一種新的易拉罐.

1 對實際易拉罐的測量與統計

取一個生活中常見的355毫升的易拉罐，采用15次測量求平均值的方法對真值進行估計，并根據樣本數據取置信度為0.85，得到均值和置信區間如表1所示.

表1 所測易拉罐的尺寸大小/

2 圓柱形易拉罐的最優設計——模型一

2.1 模型建立

此時易拉罐的形狀見圖1，易拉罐的體積是一定的.現將易拉罐分成側面、上底面和下底面三部分（下底面與側壁同厚、上頂面厚度記為βb），分別計算三部分的用料體積并得出總體積為（注意到：b??R ,b??h，由此可得到用料的近似值）：

又因為易拉罐的容積V一定，即πR2h=V，所以建立以下條件極值優化模型[1]：目標函數：V(R,h)

約束條件：πR2h=V

2.2 模型求解

圖1 圓柱形易拉罐

3 圓臺與圓柱組合形易拉罐的最優設計——模型二及模型三

3.1 模型二的建立

此時易拉罐的中心縱面圖見圖2，現將易拉罐分成圓柱部分的側面、圓臺部分的側面、上底面和下底面四部分，分別計算三部分的用料體積并得出總體積為（注意到：b??R ,b??h，由此可得到用料的近似值）：

圖2 圓臺形縱面圖

3.2 模型二求解

3.3 模型二的改進及其求解——模型三

結合實際生活中常見的易拉罐，它們的頂部確實加上一個圓臺，然而通過這一問的解答，圓臺與圓柱相結合是達不到用材料最少的，我們便考慮到這樣的設計涉及到易拉罐的堅固性、可使用性及美觀性.利用物理知識可以知道，圓柱上加上一定斜率的圓臺后能使罐頂達到一定的機械強度；可使用性指罐頂的半徑必須達到一定長才能使人易于扳開拉環；美觀程度可以用直徑與高的比與黃金比例間的差距來衡量.

利用MATLAB7.1最優化工具箱中的fmincon函數求解[3]，求解時要對模型做進一步的約束，結合模型一的結果，我們取：R≥32，r≥24，R＞r，h≥107，l≥12.1，規定步長為0.01 mm，經過搜索得到一個最優解：R=33.55 mm,r=28.71 mm,h=107.00 mm,l=12.10 mm，此時上部是一個正圓臺，下部是一個正圓柱體，用料為4471.60 mm3.對比于實際數據和模型一的結果，顯然更加接近實際值，這說明我們對模型二的改進是合理的.

4 基于若干設計原則的新易拉罐的最優設計——模型四

4.1 模型的建立

在對兩種簡化后的易拉罐進行最優設計的分析后，我們綜合考慮了易拉罐的形狀、手感和觀感方面對易拉罐進行重新設計.

從形狀來看，罐內裝有大量液體，在運輸過程中會對罐體壁產生很大的沖力，為了使罐體受力均勻，故將罐體壁設計成旋轉體.同時為了降低罐底受到的較大壓力，將下底面設計成凸起的形狀.再結合球形用材少容積大的好處，我們將圓臺設計為半球，即上蓋變成了半球.

從手感方面考慮，在成年人中，女性手掌的尺寸一般小于男性，這里我們以女性手掌尺寸為參考.當大拇指和中指這兩個部位的距離達不到易拉罐橫切面周長的一半時，則手感不佳且不易握牢.因此，當成年女性正常握持易拉罐時，其大拇指指尖到中指指尖間的圓弧長度應不小于罐身半周長.

圖3 新易拉罐形狀圖

圖4 新易拉罐縱面圖

從觀感來看，將易拉罐底面直徑與高的比設置在黃金分割比的附近為佳，此處規定其值在0.56到0.70之間，同時我們還將橫截面設計成具有個性的雙曲線型.

考慮以上各種因素，新設計的易拉罐形狀見圖3、圖4.

為減小沖力，罐內需留出少量空間，同時考慮底部有凸起的部分，因此將罐體容積設計成390毫升.

據調查，成年人的中指距握線為10厘米，拇指距握線8厘米[4]，所以規定周長最大為36厘米，最小為18厘米，即半徑最大為5.73厘米，最小為2.86厘米，因為罐體中間最細的部分為人手握住的部分，則有2.86≤r1≤5.73.在這樣的設計中所用的材料為：

另外考慮到觀感因素，設定r2大于r1的幅度不低于20%，則建立如下非線性規劃模型：

目標函數：minV'(r1,r2,h)；

4.2 模型求解

取r1和r2的步長為0.01，通過公式（1）計算出h的值，判斷是否符合公式（2），如果符合，就計算出V'的值，最后在計算出的符合條件的V'中找到其最小值對應的r1,r2,h，此即為我們新設計的易拉罐尺寸的最優設計.利用MATLAB7.1編程，經過搜索得到一個最優解為：r1=2.99 cm,r2=3.59 cm,h=9.11 cm.

本設計的最大優點在于其富有個性的形狀與人性化的手感設計.生活中，易拉罐飲料主要的消費人群為追求時尚與個性的青少年人群.從外形來看，這款新型易拉罐已經能吸引一大批青年消費者，再加上人性化的手感設計，將擴大該易拉罐的消費人群并使其能獲得長久的市場占有率[5].如果制造商增強宣傳力度，這種易拉罐帶來的利潤將更加可觀，所以這種設計具有很好的實用價值.

[1]姜啟源，謝金星，葉俊.數學模型[M].4版.北京：高等教育出版社，2011.

[2]龔三瓊，王海舟.高等數學[M].南京：南京大學出版社，2009.

[3]劉衛國.MATLAB程序設計與實例應用[M].2版.北京：高等教育出版社，2006.

[4]賴維鐵.人機工程學[M].武漢：華中科技大學出版社，2003.

[5]易正偉，嚴琳.消費心理學[M].北京：北京師范大學出版社，2011.

An Optimal Design for the Shape and Size of a Can

YI Jing-jing,JIN Jian
(School of Mathematics and Statistics,Changshu Institute of Technology,Changshu 215500,China)

This paper discusses the optimal design for the shape and size of a beverage can.First,the authors of the paper measure the parameter of size of a common beverage can,set a static optimization model,and respectively figure out the best design of the beverage can when it is shaped to be the cylinder or the combination of frustum-of-a-cone and cylinder.Lastly,the authors take account of the factors such as outline,touch,artistic and so on,set a nonlinear programming model,and use the programs MATLAB to get the best design of a new can.

optimal model;static optimization model;nonlinear programming model

O172.1

A

1008-2794（2012）10-0051-04

2012-09-06

裔晶晶（1991—），女，江蘇高郵人，常熟理工學院數學與應用數學專業2010級學生.

金健（1964—），男，江蘇常熟人，研究方向：數學建模，E-mail:cumcm@cslg.cn．