P，Q-對稱熵損失函數下Pareto分布參數的Bayes估計

張萍，鄧永坤，喬路芳

（中國礦業大學理學院，江蘇徐州 221116）

P，Q-對稱熵損失函數下Pareto分布參數的Bayes估計

張萍，鄧永坤，喬路芳

（中國礦業大學理學院，江蘇徐州 221116）

在P，Q-對稱熵損失函數下，討論了Pareto分布參數的Bayes估計.當先驗分布為伽瑪分布時，給出估計的精確形式.最后證明了其容許性.

Pareto分布；Bayes估計；P，Q-對稱熵損失函數；可容許性

Pareto分布是意大利經濟學家Vilfredo Pareto（1848-1923）提出的一種收入分布方式[1].迄今為止，Pareto分布不僅應用于經濟收入模型，在其他物理、生物等領域也得到了廣泛的應用.吳喜之[2]論述了關于Pareto分布參數估計的一些進展.

含有兩個參數的Pareto分布的密度函數如下：其中a＞0為尺度參數，θ＞0是形狀參數.

目前已有人研究了平方損失函數，熵損失函數及Q-對稱熵損失函數下Pareto分布參數的Bayes估計.李艷穎[3]討論了在平方損失函數和Q-對稱熵損失函數下Pareto分布參數的Bayes估計.李凡群[4]討論了在熵損失函數下Pareto分布參數的Bayes估計.杜宇靜等[5]在P，Q-對稱熵損失函數下討論了指數分布參數的估計.這里主要研究在損失函數為P，Q-對稱熵損失函數時，Pareto分布參數的Bayes估計.

1 基本概念

定義1[5]P，Q-對稱熵損失函數定義為：

其中p,q∈R+,δ為θ的估計.

定義2[6]設總體X的分布函數為f(x;θ)，其中參數θ為隨機變量，取θ得先驗分布為π(θ)，如果在所有的決策函數集合D中存在一個決策函數d*(X)，使得對集合D中的任何決策函數d(X)都滿足：

我們把d*()

X稱為θ的Bayes估計量.

Pareto分布的密度函數引言中已給出.

設X服從Pareto分布，X1,X2,…,Xn是來自總體為n的簡單隨機樣本，x1,x2,…,xn為X1,X2,…,Xn的觀測值，由（1）得X1,X2,…,Xn的聯合密度函數為：

θ未知，下面對它進行估計.

2 參數θ的Bayes估計

定理1當損失函數為P，Q-對稱熵損失函數（2），先驗分布為任一分布π(θ)，Pareto分布的參數θ的Bayes估計為

證明設δ(X)為θ的任一估計，在P，Q-對稱熵損失函數（2）下，δ(X)對應的Bayes風險為

又因為

利用極值理論及定義2知（6）式的極小值即為參數θ的Bayes估計.

現對（6）式關于δ求導并令其等于0，為下式：

整理后解得

它即為所求參數θ的Bayes估計（4）式.

得證.

設X1,X2,…,Xn服從Pareto分布，且相互獨立，x1,x2,…,xn是X1,X2,…,Xn的觀測值，θ是未知參數，當給定一個確定的先驗分布時，參數θ的Bayes估計的精確形式由下面的定理給出.

定理2取損失函數為P，Q-對稱熵損失函數（2），當參數θ的先驗分布為伽瑪分布Ga(α,λ),即

則Pareto分布參數θ的Bayes估計為：

證明由（3）、（7）兩式可得θ的后驗概率密度函數為：

可看出后驗分布服從Ga(n+α,T+λ)分布.只要求出E(θp|X)和E(θ-q|X)，代入定理1，即可得參數θ的Bayes估計.

3 Bayes估計的容許性

引理[7]給定一個統計決策問題，δB(X)是在給定θ的某個先驗分布π(θ)之下的Bayes解，若δB(X)的Bayes風險Rπ(δB(x))＜∞，則δB(X)必是此統計決策問題的容許決策函數.

定理3定理2中，損失函數為P，Q-對稱熵損失函數（2）時，Pareto分布的參數θ的Bayes估計

是可容許的.

證明取損失函數為P，Q-對稱熵損失函數（2），Pareto分布參數θ的Bayes風險函數為

從而有

是可容許的.

[1]Pareto V.Cours Economic Politique[M].Lausanne and Paris：Rouge and Cie，1987.

[2]吳喜之.現代貝葉斯統計學[M].北京：中國統計出版社，2000.

[3]李艷穎.Pareto分布參數的Bayes估計[J].四川理工學院學報，2010，23（3）：275-277.

[4]李凡群.熵損失下Pareto分布參數估計[J].安徽電子信息職業技術學院學報，2006，22（5）：73-74.

[5]杜宇靜，孫曉祥，尹江艷.p，q-對稱熵損失函數下指數分布的參數估計[J].吉林大學學報，2007，45（5）：764-766.

[6]師義民，徐偉，秦超英，等.數理統計[M].北京：科學出版社，2002.

[7]范金城，吳可法.統計推斷引導[M].北京：科學出版社，2001.

The Bayesian Estimation of Scale Parameter of Pareto Distribution under P,Q-Symmetric Entropy Loss Function

ZHANG Ping,DENG Yong-kun,QIAO lu-fang
(School of Sciences,China University of Mining and Technology,Xuzhou 221116,China)

Under P,Q-symmetric entropy loss function,this paper first gives the general form of Bayesian estimation.Then,the exact form of Bayesian estimation is given under the condition of giving prior distribution of parameter.Lastly,the paper proves the admissibility of the Bayesian estimation.

Pareto distribution;Bayesian estimation;P,Q-symmetric entropy loss function;the admissibility

O177

A

1008-2794（2012）10-0023-04

2012-09-06

張萍（1986—），女，山西運城人，中國礦業大學理學院2010級碩士研究生，研究方向：數理統計.