廣義Γ－環上模的Morita結構及其應用

俞淑萍

（上海醫療器械高等專科學校基礎部，上海 200093）

文獻［1］引進廣義Γ－環，本文研究這種環上模的Morita結構及其應用.該問題迄今尚未有人討論過.本文中出現的廣義Γ－環R均有α－單位元，?α∈Γ.設M為R－右模，N為R－左模，Hom（M，N）表示M到N的模同態集，End（M）表示模M自同態集.本文中出現的不加定義的概念和符號見文獻［1－2］.

1 廣義Γ－環上模的Morita結構定義

根據結合環上模的Morita理論，可以定義廣義Γ－環R上的模、α－自由投射模、投射生成模及α－張量積等概念.本文省略這些概念的定義過程，直接利用這些概念，并不加證明地給出廣義Γ－環R上模的相應結果.

定理1 設P為R－模，則下列條件等價：

a.P為投射模；

b.任一短正合列0→M→N→P→0是點分裂的；

c.P為α－自由模的直和因子，即存在α－自由模F與R模P′使P⊕P′～F.

定理2 R－模P為投射模的充分必要條件是存在集

定理1和定理2可由廣義Γ－環上模的運算特性，仿照文獻［3－4］中結合環相應結果的證明即可證得.本文省略它們的證明.

定義1 設R′，R為廣義Γ－環，M＝R′MR，M′＝RM′R′，若有R－R－同態τ和R′－R′－同態μ為

它們滿足：任意x，y∈M，x′，y′∈M′，

即下面的兩個同態映射圖1（a）和圖1（b）可交換，則稱（R，R′，M，M′，τ，μ）為一個Morita結構.

圖1 同態映射交換圖Fig.1 Homomorphic figure

2 構造M

定理3 設M＝MR為廣義Γ－環R上的（右）模，從M出發構造它的一個Morita結構，并稱之為構造M.

證明 令M＊＝Hom（MR，RR），R′＝End（MR），分別規定以下情形：

情形1 ?α∈Γ，1α∈C1（R），設r′1，r′2∈R′，β∈Γ，m∈M，規定

則對任意ν∈Γ，x∈R

顯然r′1βr′2∈End（M），故r′1βr′2∈ End（MR）.易驗證R′關于這個結構構成廣義Γ－環.1′α為R′的α－的單位元，且1′α∈C（R′）.為區別于環End（MR），將這個廣義 Γ－環 R′記為EndΓ（MR），即R′＝EndΓ（MR）.特別地，若僅對α－而言，即Γ＝｛α｝，就得到廣義α－環

則R′也為廣義Γ－環.

情形3 在情形1中，當r′∈R′，m∈M，β∈Γ時，規定

則MR為左R′－模，即M＝R′MR.

情形4 在情形2中，當r′∈R′，m∈M，β∈Γ時，規定

則MR為R′－模，即M＝R′MR.

情形5 在情形1中，當y＊∈M＊，r′∈R′，β∈Γ時，規定

則y＊βr′∈M＊且

情形6 在情形2中，當y＊∈M＊，r′∈R′，β∈Γ時，規定

對于情形1與情形2有下面的性質：

對于情形1，3，5，因1α∈C（R），1′α∈C（R′），故α－張量積就是張量積，令

其中，［m，y＊］：m1→mα（y＊，m1）＝mα（y＊m1），則τ為R－R－模同態，而μ為R′－R′－模同態.因

故［m，y＊］αm1＝mα（y＊m1）.同樣，有x＊α［m，y］＝（x＊，m）αy＊.故由定義1可知，（R，R′，EndΓ（MR），M，M＊，τ，μ）為一個Morita結構.

對于情形2，4，6，可以取α－張量積作同態映射：

其中，［m，y＊］：m1→mα（y＊m1）.同樣，（R，R′，M，M＊，τ，μ）為一個Morita結構.

綜合上述情形，從M出發構造獲得的Morita結構（R，R′，M，M＊，τ，μ），稱為M的構造，仍記為M.

3 構造M的性質和應用

先證明構造M有以下性質.

定理4 在構造M中，若τ，μ是單射，則

a.MR，R′M，M′R，RM′均是投射模；

b.τ，μ是同構映射；

c.映射l：x′｜→l（x′），（l′（x′）：M→R；g｜→（x′，y））是RM′R′到RM′R′的雙模同構映射；

d.C（R）與C（R′）同構.

證明 仿照文獻［4］可證得結論a－d，本文省略證明.

現應用定理4，給出左、右Artin單廣義Γ－環結構定理的另一個證明.

定理5 設R為廣義Γ－環，則下列條件等價：

a.R為左、右Artin單的［1］；

b.R為單的且含極小右理想；

c.LαDnRα，其中，Lα為R的左α－算子環，Rα為R的右α－算子環，?α∈Γ，Dn為除環D上的n階方陣環.

證明 a?b.顯然.

b?c.設R有極小右理想I，仿照文獻［3］的引理1可得：存在e1∈R，ε∈Γ，使得f＝e1εR，e1ε1e1＝e1，且R有極小右理想的直和分解，R＝e1ε1R＋e2ε2R＋…＋enεnR.其中，eiεiei＝ei，eiεiR（i＝1，2，…，n）均為極小右理想.因此，作為右R－模，R為既約右R－模的直和，且I為R的直和因子，又顯然I為有限生成的，而R為α－自由模，于是，由定理1可知，I為有限生成投射模，由定理5可知，τ（1）≠0，由τ為單的，可知τ（I）＝R，即I為投射生成模.按前文構造M，則有

是一個Morita結構，現按情形1，3，5下的構造M與情形2，4，6下的構造M，分別證明定理5中的c成立.

若M是情形1，3，5下的構造，則由τ（I）＝R與τ，μ的定義可知，τ，μ均為滿射，故定理1中各結論成立.因R有α－單位元1α，?α∈Γ，由式（1），（3），（5）可知，R′α＝End IR′＝End IR′α，且R′α為除環.由定理4得I＊為有限生成右R′－模，且LαEnd，存在除環D與正數n.又顯然有故有End

若M是情形2，4，6下的構造，則由式（2），（4），（6）可知，1αC（R）（?α∈Γ），但由情形2，1′α∈C（R′），顯然有意義，此時亦可證End＝End，從而式（5）成立.事實上，設顯然，有；反之，設∈I＊，r′∈R′，φ（m＊αr′）＝（φm＊）αr′，對?β∈φ，φ（m＊βr′）＝φ（m＊α1′αβr′）＝φ（m＊）α1′αβr′＝（φm＊）βr′，又顯然所以于是，End

現給出一實例說明定理5的應用.

例1 取除環D上n階方陣環R＝Dn，

μ如前文中定義，由定理3得（R，R′，M，M＊，τ，μ）為M的構造M，且滿足定理5中的條件c.故由定理5可知，R＝Dn是一個左、右Artin單的廣義Γ－環.

［1］ 高振林.廣義Γ－環的交換條件［J］.曲阜師范大學學報，1987，13（3）：205－208.

［2］ Gao Z L.On Rees matrix representations of abundant semigroups untri adequate transuersals［J］.Commun Korean Math Soc，2009，24（4）：481－500.

［3］ Nobusawa.On a generalization of ring theory［J］.Osaka J Math，1964，23（1）：81－89.

［4］ Jacobson N.Basic AlgebraⅡ［M］.San Fancisco：W H Freeman and Company，1980.