一類具有變人口規模的含時滯SIS流行病模型的全局穩定性

翟院青， 原三領， 袁艷燕

（上海理工大學理學院，上海 200093）

文獻［1］討論了具有變人口規模含積分時滯的SIS流行病模型

式中，I（t）、N（t）分別為t時刻的染病者和總人口.模型中所有參數均為正常數：A為人口的常數遷入，并假設遷入的均為易感者；β為傳播系數；d、ε分別為人口的自然死亡率和因病死亡率.P（t）為染病者患病t單位時間后仍為染病者的比例.在模型（1）中，若假設每個染病者個體的染病期為常數，則模型（1）將成為一個與之等價的微分差分方程.在文獻［1］中，確定了疾病傳播的基本再生數，得到了無病平衡點全局漸近穩定以及地方病平衡點局部漸近穩定的條件.此類含時滯流行病模型的地方病平衡點全局穩定性的證明對從事流行病建模和研究的工作者來說歷來是一件非常棘手的事情，現有的工作大多局限于通過構造Liapunov函數的方法來證明［2－8］.本文將在文獻［1］的基礎上進一步探討疾病傳播的持續性以及地方病平衡點全局漸近穩定的條件.

1 模 型

假設每個染病個體的染病期為一常數ω，即P（t）為一分段函數

則模型（1）成為與之等價的微分差分方程

定義

由文獻［1］知，疾病的基本再生數為

且模型（2）有下面的結論：

引理1 對于模型（2）從Ω中出發的解，下面結論成立：

a.如果I0（0）＝0，則對所有的t≥0有I（t）≡0，N（t）→A／d（t→∞）；

b.如果N（0）≥I0（0）＞0，則對所有的t＞0有N（t）＞I（t）＞0.

引理2 模型（2）總存在無病平衡點（0，A／d）.如果R0≤1，則模型沒有其它平衡點；如果R0＞1，則模型還存在一個地方病平衡點

引理3 如果R0＜1，無病平衡點（0，A／d）在區域Ω內全局漸近穩定；如果R0＞1，無病平衡點（0，A／d）在區域Ω內不穩定.

引理4 a.如果R0≥2＋ε／d或1＜R0≤3，則地方平衡點（Ie，Ne）局部漸近穩定；b.如果ε／d≤1，則對于所有的R0＞1，地方平衡點（Ie，Ne）局部漸近穩定.

2 流行病的持續性

令I1＝M2－M1／R0，且假設I1＞0.取η滿足0＜η≤I1，則有

設（I（t），N（t））為模型（2）初值滿足I0（0）＞0的解，則有下面的結論：

引理5 如果I1＞0，對于任意的t0＞0，不可能對所有的t＞t0有I（t）＜I1－η.

證明 假設引理5的結論不成立，則存在t0＞0與t1（t1＞t0＋ω），對于t≥t1－ω，有

將其代入積分方程（與模型（2）中第一個方程等價），得

令Ie＝mint∈［t1，t1＋ω］I（t），則對所有的t≥t1，有I（t）≥Ie.否則，存在t2（≥t1＋ω），使得I（t2）＝Ie且對所有的t1≤t≤t2有I（t）≥I（t2）.故

取常數R1滿足，則對于任意的t≥t1＋ω有I（t）＞IeR1.注意到Iee－（d＋ε）（t1＋ω－u）du≥IeR1.如果上述結論不成立，則存在t3≥t1＋ω，使得I（t3）＝IeR1且對所有的t1＋ω≤t≤t3有I（t）≥IeR1.另一方面在區間［t1＋ω，t3］上，有

與I（t3）＝IeR1矛盾，故上面結論成立.由歸納法知在區間［t1＋kω，∞）上有I（t）＞IeR.所以當t充分大時有I（t）≥I1－η，這與I（t）＜I1－η（t≥t1）矛盾.故引理5得證.

因為模型（2）的解一致有界，故I（t）一致連續，所以存在τ（0＜τ＜ω）（τ與t＊無關），使得（t＊≤t≤t＊＋τ）.如果q≤τ，結論自然成立.下面考慮τ＜q≤ω的情況.對于t＊＋τ≤t≤t＊＋q，有

3 地方平衡點的全局漸進穩定性

首先，對傳染者人數的最終下界給出估計.令

證明 首先，假設I3＝I1.由引理5，對于所有充分大的t不可能都有I（t）＜I3－η.如果I（t）≥I3－η（t充分大），結論顯然成立.如果I（t）在I3－η左右震蕩（t充分大時），則存在足夠大的t4、t5，使得

下面考慮t4－t5≥ω的情況.如果（t），由引理5的證明過程，可知

首先對Il的值進行估計.為此，考慮與模型（2）等價的模型

其中，S（t）為t時刻易感者的人數，滿足N（t）＝S（t）＋I（t），這里α＝exp（－（d＋ε）ω），因為

對于t4＜t＜t4＋ω，據I（t）＜I3＜I2，可得I′（t）≥－因此，有

故Il≥I4－η.即證當I3＝I1時，命題成立.同理可證I3＝I2時，結論也成立，引理6得證.

下面分析模型（2）地方平衡點的全局穩定性.在下文中總假設模型（3）存在唯一的地方平衡點為（Se，Ie），其中

模型（3）可以寫成為

令V1＝S－Se－Seln（S／Se）＋I－Ie－Ieln（I／Ie）.

則V1沿著模型（4）解的全導數為

再令V＝V1＋V2，其中

計算V沿著模型（4）解的全導數，得

如果m＞0且n＞0，在η＞0足夠小的情況下，式（5）關于變量（S－Se），（I－Ie）定負.下面定理2是本文的主要結論.

定理2 如果以下條件成立：

則模型（3）的地方病平衡點全局漸近穩定.

注：易見當α足夠小且d＋ε＞βSe時，定理2的條件顯然滿足.

5 結 論

在文獻［1］所研究的SIS流行病模型的基礎上對疾病流行的持續性以及地方病平衡點全局穩定性做了進一步探討.研究結果表明：當R0≥1＋（ε／d）時，疾病會持續流行，從而形成地方病.通過構造恰當的Liapunov泛函，得到了地方病平衡點是全局漸近穩定的一個充分條件.對于所有的R0≥1地方病平衡點也許都是全局漸近穩定的，這有待下一步繼續研究.

［1］ 袁艷燕，原三領，翟院青.一類具有變人口規模的含時滯SIS流行病模型的穩定性分析［J］.上海理工大學學報，2012，34（1）：27－31.

［2］ Wang W，Ma Z.Global dynamics of an epidemic model with time delay［J］.Nonlinear Analysis：Real Word Application，2002，3（3）：365－373.

［3］ Wang W.Global behavior of an SEIRS epidemic model with time delays［J］.Applied Mathematics Letters，2002，4（15）：423－428.

［4］ Hethcote H W，Driessche P V.Two SIS epidemiologic models with delays［J］.J Math Biol，2000，40（1）：3－26.

［5］ Yuan S，Han L，Ma Z.Analysis of an SIS epidemiologic model with variable population size and a delay［J］.Appl Math J Chinese Univ Ser B，2003，18（1）：9－16.

［6］ Yuan S，Ma Z.Study on an SIS epidemiologic model with time variant delay［J］.System Science and Complexity，2002，15（3）：299－306.

［7］ 原三領，馬知恩，韓茂安.一類含時滯的SIS流行病模型的全局穩定性［J］.數學物理學報，2005，25（3）：349－356.

［8］ Yuan S，Ma Z.Global stability and Hopf bifurcation of an SIS epidemic model with time delays［J］.System Science and Complexity，2001，14（3）：327－336.