基于逆向思維的圣彼得堡悖論數量模型研究及應用

孫文浩， 姚 儉

（上海理工大學管理學院，上海 200093）

從1987年Santa Fe研究所專門組織把經濟當作一個演化的復雜系統［1］進行研究以來，對經濟復雜性的研究日趨活躍，涌現了非均衡經濟學［2］、復雜性經濟學［3］等新的經濟學，不僅在思想和方法上給出更加寬闊的視野，還使人們更好地認識和把握了真實的經濟系統.產品和服務定價不能僅僅依靠生產成本、社會必要勞動時間，還要考慮供求關系、社會習俗、社會經濟環境.通貨膨脹也不僅僅是供給、需求以及貨幣投入量三者之間的關系，還受城鄉結構、國家政策、國際環境的影響.它們都是受眾多因素影響的復雜經濟系統，不是簡單的線性關系，需要用系統科學的思想，借助數學、經濟學、心理學等眾多學科與非線性方法進行研究.錢學森也提出了創建系統科學、人體科學和思維科學［4－5］的構想，運用其它學科和不同的思維方法，不僅能使問題得到更好的解決，還能使得原有的學科體系更加完善和豐富.本文運用逆向思維的方法，借用圣彼得堡悖論，分析樣本規模大小對這些復雜的經濟系統和決策判斷的影響.

1 圣彼得堡悖論數量模型

1713年，瑞士籍教授尼古拉·伯努利提出假定有一個擲硬幣的游戲，規則有二：

a.當硬幣擲得是正面，有權利再擲，直到出現反面為止；

b.付給擲得反面者2n元，n為你擲硬幣的次數.

即若第一次就出現反面，擲硬幣者只能得到2元，第二次出現反面得4元，第三次出現得8元，依此類推.那么人們愿意付多少賭金參與這一游戲，結果多數人不愿意付太多的賭金，幾乎不超過10元.若按預期貨幣值計算，參與該游戲的收入是無窮大的，其計算式為

對于一個獲益無窮大的游戲，人們卻只愿付很少的賭金去玩，這就是著名的圣彼得堡悖論［6］.

圣彼得堡悖論提出已有近300年了，針對其提出的抵御方法有邊際效應遞減論、風險厭惡論、效應上限論和結果有限論［7］.本文用逆向思維的方法，建立圣彼得堡悖論數量模型，并探討樣本容量對它的影響；最后將其運用到實際問題中，解決產品或服務定價，相關決策問題，并討論它對通貨膨脹的影響.

從逆向思維角度研究圣彼得堡悖論，建立圣彼得堡悖論數量模型（以下簡稱圣彼得堡模型），把目標由人們愿意花多少賭金玩這個游戲轉變為游戲制造者為游戲訂多少賭金才能自己不賠錢.

1.1 模型的假設

等可能發生概率（即擲2n次硬幣，有n次為正，n次為反）.模型假設的依據為，擲硬幣隨機試驗服從等可能概型.表1所示的擲硬幣實驗結果表明，樣本數越大，本假設置信度越高.

表1 科學家的擲硬幣實驗結果Tab.1 Experimental results of the coin toss by scientists

1.2 模型建立

樣本空間2n（先以210即1 024人參與游戲為樣本空間分析）；每人支付賭金m元.游戲制造者的支付模型如圖1所示.

圖1 圣彼得堡支付模型Fig.1 Pay model of St.Petersburg

游戲參與者付出的賭金為1 024m，游戲制造者為參與者支出的賭金為m＝512×2＋256×4＋128 ×23＋64×24＋……＋1×210＋A（A為不確定常數，且A＞＝211）＝10×1 024＋A＝1 0240＋A.游戲制造者不賠本等價于1 024×m＞＝10240＋A，則m＞＝10＋A／210＞12（其中，A／210＞2）.

當樣本空間為211時m＞＝11＋A／211＞13

當樣本空間為212時m＞＝12＋A／212＞14

………………………

將樣本空間擴展到2n，再利用歸納與遞推的方法，可推出游戲制造者不賠本的條件為m＞＝n＋A／2n，其中，A＞＝2n＋1（A／2n＞2）；其直角坐標如圖2所示.

圖2中，x為參與游戲人數，x＝2n；y為價格，y＝n＋A／2n，則y＝＋A／x.

圖2 y＝＋A／x曲線圖Fig.2 Graph y＝＋A／x

1.3 模型結論

a.模型結果與模型的樣本容量大小有關，即游戲制造者訂的賭金多少，要取決于多少人參與游戲，賭金過高，沒人會參與，賭金低（或者說參與游戲的人超過訂賭金所參照的樣本容量），則會賠本.

b.受樣本容量的限制，模型結果并不是無窮大的，當樣本容量為233（約等于86億人）已經超過全球人口總數了.所以許多風險厭惡論的專家認為用25元的費用冒險參與游戲是不明智的，雖有得大獎的機會，但可能性太低.

c.形如y＝logx2的曲線增長，當x增長兩倍，y值才能上升一格，隨著樣本容量的增大，y值對x的變化越來越不敏感.

2 實例驗證

現實生活中，通常人們都認識不到隨著樣本規模的擴大，隨機變量的樣本均值的方差減小得有多快.但這對決策過程是非常重要的.根據認知心理學的“小數定律”，人們通常會忽視樣本大小的影響，認為小樣本和大樣本具有同樣的期望值.這一基本偏差是人總是傾向于運用小數法則，即認為小樣本和大樣本的經驗均值具有相同的概率分布，其實這違反了概率論中的大數定律.

例如，在特維爾斯基和卡尼曼1974年的著名實驗中，實驗對象被給出這樣一個問卷：一個城鎮里有一家大醫院和一家小醫院.大醫院每天約有45個嬰兒出生，小醫院每天約有15個嬰兒出生.正如人們所知，所有嬰兒中男孩約占50%，但具體的百分比每天都會有差異.有時高于50%，有時低于50%.在一年內，兩家醫院都登記了超過60%的出生嬰兒是男孩的天數.被實驗者被問及哪家醫院這樣的天數更多一些：a.大醫院.b.小醫院.c.兩家醫院相同（即在5%的差異范圍之內）［8］.大部分人都選了c，即兩家醫院相當.而簡單統計告訴人們小醫院比在大醫院更可能見到60%的男性嬰兒；抽樣理論也證明小醫院超過60%的嬰兒是男孩的天數是大醫院同類情況的3倍.就像擲10次硬幣，6次是正面是很常見的，而擲1 000次硬幣，出現600次正面卻不是常見的.

3 圣彼得堡模型的應用

3.1 模型對產品或服務定價的啟示

在實際生活中有些產品或服務符合圣彼得堡模型，例如電話，自從1876年亞歷山大·貝爾獲得電話的發明專利到如今，世界上約有7.5億電話用戶，其中還包括1 070萬因特網用戶分享著這個網絡.如果只有兩個人安裝電話，那么他們所能獲得的服務效益（相當于圣彼得堡模型中可能獲得的收益）將很少，即只能兩人之間通話.然而隨著樣本規模的擴大（越來越多人安裝電話），它的服務效益也不是無止境擴大.隨著信息技術的發展，移動通訊設備手機的問世，因手機具有上網、娛樂等功能，擴大了使用者的樣本規模，使人們取得更多的服務效益，開始逐漸替代家庭固話.

隨著中國人口老齡化的加劇，保險公司推出各種養老保險，每一家保險公司都承諾能在未來為投保人群提供可觀的養老保障，那么這些保障能否實現，以及人們應該為這種服務投入多少資金是人們關心的問題.保險公司只有在將其從受保群眾那里募集的資金進行再投資過程中，再投資的回收率高于向群眾承諾的回報率，這條資金鏈才能正常運行.否則會導致兩種結果：一是因資金鏈條斷裂而破產，二是導致“龐氏騙局”，即用后來投資者的錢給前面的投資者以回報.2009年，我國80歲以上的老年人口1 899萬，今后每年以100萬增加；60歲以上的人口1.6 714億，比2008年凈增725萬，占總人口12.5%.而中國養老金賬戶投資的收益率不到2%，面對高于收益率的CPI（2.2%），再加之通貨膨脹的影響，形成了福利的巨大損失.這就給保險行業提供了警示，應該考慮各方面的變化，制定合理的養老保險回報率.

3.2 模型對心理決策的影響

決策過程中由于受到樣本規模大小的影響，人們會因偶然性的原因做出錯誤決策.例如“賭徒謬誤”中賭徒不愿相信自己運氣一直不好；體育迷對“手熱”現象的偏好.特維爾斯基和卡尼曼1971年研究也表明，心理學研究者也會成為“小額數量法則”的受害者，因為他們相信樣本事件更能代表其總體，科學家過分相信初始樣本的結論，經常粗略地高估實驗結果的可重復性［9］.

現假設收到一份免費的投資者時事通訊，它預測接下來的3個月中股市將下跌，并建議賣掉股票，你沒有理會這一建議，但股市真的下跌了.3個月后，又收到一份這份免費的時事通訊，這次它預測接下來的3個月股票將上漲，你又沒理會，但它又預測對了.第三份免費的時事通訊建議在接下來的3個月買進股票并再一次預測對了.經過這9個月，你收到一份來自時事通訊請求訂閱該通訊的信函，指出過去的9個月他們一直提供大量免費的建議，如果想繼續獲得建議就必須支付一筆小數額的定購費.很多人被它過去一貫的準確預測所打動，欣然訂購.另一個角度考慮這一問題：假定出版商出版8種金融時事通訊，每種由不同專家負責，第一期4種預測股市會上漲，4種預測股市會下跌.預測下跌的是正確的，而預測上漲的失去了生意.余下的4種預測正確的通訊在第二期上2種預測上漲，2種預測下跌，經過第二期只剩下2種金融時事通訊，第三期一種預測上漲，另一種預測下降［10］.3種都預測正確的時事通訊與事實相符，似乎他們對金融市場有獨到的見解.這樣人們忽略了它的樣本規模，卻選則信任偶然因素導致的后果.

3.3 模型對通貨膨脹的啟示

市場價格存在管理學中的“蝴蝶效應”：某些產品受人為或市場調節原因，價格上漲，而互為替代品的商品因為替代性不強，或者受市場潛意識的影響也競相提價，導致互為替代品對價格與供需量的調節完全喪失，這樣容易引起一連串的連鎖反應，造成全行業的物價上漲，從而使貨幣貶值，對通貨膨脹也造成很大影響.由圣彼得堡模型曲線圖y＝logx2＋A／x可看出，需求量x右移對價格y的影響很小.而由其反函數曲線則表明，價格的波動對需求量的影響很大.這就啟示人們在發揮市場資源配置的自我調節作用時，需要制定合理的價格范圍，盡量減少價格大幅波動對通貨膨脹（緊縮）的危害.僅對通貨膨脹來說，通過“限購”可以暫時將樣本規模限制在一定份額內，既能限制x（主要指人為故意囤貨引起的需求量變動）大幅增長，又能在價格y的值大幅上漲時，將需求量控制在一個比它本身小的樣本規模內，既防止市場范圍內大的損傷規避惡性循環，又為政府宏觀調控延長了準備時間.2011年4月30日北京出臺“國十條實施細則”：從5月1日起，北京家庭只能新購一套商品房.這是全國首次提出的家庭購房套數“限購令”，隨后房產限購在全國范圍內一二線城市展開，相信此舉能阻止房地產泡沫膨脹趨勢.

4 結 論

借助圣彼得堡悖論，用逆向思維的方法，建立了圣彼得堡模型.通過樣本規模對數增長的特性，討論了樣本規模對合理的產品或服務定價、相關決策問題的影響作用，旨在為一些經濟現象提供理論依據，為社會問題提供參照的解決方案.本模型在理論依據方面借助特維爾斯基和卡尼曼的著名實驗與理論，以及規避“代表性啟發方式”的方法.模型顯示決策過程中要充分考慮到樣本規模，既要借助樣本容量大小規避風險，又要通過樣本容量變不利趨勢為有利趨勢，不要落入決策陷阱.

［1］ Anderson P，Arrow K，Pines D.The economy as an evolving complex system［M］.Redwood：Addison Wesley，1988.

［2］ Arthur W，Durlauf S，Lane D.The economy as an evolving complex systemⅡ［M］.Redwood：Addison Wesley，1997.

［3］ Arthur W.Complexity and the economy［J］.Science，1999，284（5411）：107－109.

［4］ 錢學森.系統科學、思維科學和人體科學［J］.自然雜志，1981，4（1）：3－9.

［5］ 錢學森.關于思維科學［M］.上海：上海人民出版社，1986.

［6］ Bernoullie M.Papers of the imperial academy of science in Petersburg［J］.The Economics，1738，22（3）：175－192.

［7］ 張鐵聲.從悖論到新奇的真理論消解悖論的一般方法［J］.晉陽學刊，2000，32（3）：32－35.

［8］ Tversky A，Kahneman D.Judgment under uncertainty：heuristics and biases［J］.Science，1974，185：1124－1131.

［9］ Tversky A，Kahneman D.The belief in the“law of numbers”［J］.Psychological Bulletin，1971，76：105－110.

［10］ Bazerman D.Judgment in managerial decision making［M］.6nd ed.Beijing：Post ＆Telecom Press，2007：15－28.