淺談中學(xué)數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)美

■楊杰

淺談中學(xué)數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)美

■楊杰

作為科學(xué)的語言，數(shù)學(xué)具有一般語言文學(xué)和藝術(shù)所共有的美的特征。這就是數(shù)學(xué)在其內(nèi)容結(jié)構(gòu)與方法上都具有某種美，但數(shù)學(xué)美又有自身的獨特含義。數(shù)學(xué)家徐利治先生認(rèn)為：“數(shù)學(xué)美包括數(shù)學(xué)概念的簡單性、統(tǒng)一性、結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性、對稱性，數(shù)學(xué)命題和數(shù)學(xué)模型的概括性、典型性和普適性，還有數(shù)學(xué)中的奇異性。”

數(shù)學(xué)美不僅表現(xiàn)為形式美，而且還是結(jié)構(gòu)美與整體美；不僅是語言精巧美，而且還是方法美和思路美；不僅是邏輯抽象美，而且還是創(chuàng)造美和應(yīng)用美。數(shù)學(xué)美主要有以下幾個方面的表現(xiàn)形式：對稱、和諧；嚴(yán)謹(jǐn)、統(tǒng)一；簡單、明快；奇異、突破。

一、對稱美

對稱、和諧是數(shù)學(xué)美的基本內(nèi)容，它給人們一種圓滿和勻稱的美感享受，讓人們內(nèi)心感到穩(wěn)定和滿足。其實質(zhì)是數(shù)學(xué)中對立統(tǒng)一的概念、運算、命題、圖形等在結(jié)構(gòu)與形式方面的體現(xiàn)。如幾何中對稱圖形與變換是明顯對稱的，從簡單的正三角形、正方形、圓、心臟線到各類幾何變換群都有鮮明的對稱性。橢圓、雙曲線、拋物線，都具有一種均衡的對稱美，如果說這些對稱性是數(shù)學(xué)形式美的表現(xiàn)，它直觀的給人以美的享受，那么數(shù)學(xué)中還有更多的是基本概念、定理、法則的對稱性，是與非的對稱性、相關(guān)聯(lián)的對稱性，這些就是數(shù)學(xué)內(nèi)容美的表現(xiàn)。如代數(shù)中的行列式、矩陣；平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b），立方差公式a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2），一元二次方程求根公式。

數(shù)學(xué)中的對稱是廣義的，有幾何圖形、數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)的對稱，也有數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法的對稱，這些無不顯示數(shù)學(xué)美的魅力。

二、統(tǒng)一美

嚴(yán)謹(jǐn)、統(tǒng)一是數(shù)學(xué)美的重要特征。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)多樣，但又統(tǒng)一于某公理、公式之中，平面幾何中的相交弦定理、切割線定理、割線定理都統(tǒng)一于圓冪定理之中。引入極坐標(biāo)后，橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)一于方程。立體幾何中，求圓柱、圓臺、圓錐體積都可以用統(tǒng)一的公式得來。

又如，對于代數(shù)式：若xi＞0，i=1，2，…，n，則，我們也可以看到一個有趣的問題：若ai> 0，i=1，2，…，n，這個n數(shù)的和a1+a2+…+ an=An是定值，那么它們的積a1a2…an= Gn就有最大值，而這個最大值Gnmax是當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時取得的；相反的有，若ai>0，i=1，2，…，n，這n個數(shù)的積a1a2…an=Gn是定值，那么它們的和a1+a2+…+an=An就有最小值。同樣這個最小值A(chǔ)nmin是當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an取得的。

下面看看這個定理的應(yīng)用。

例，在已知周長為定值的一切三角形中，求出面積為最大的三角形。

解：設(shè)ΔABC周長為2P，邊長為a，b， c，由海倫公式其中。因為（P-a）+（P-b） +（P-c）=P是定值，所以當(dāng)且僅當(dāng)（P-a） =（P-b）=（P-c）時，即時，SΔABC有最大值。

這也就是說當(dāng)周長一定時，正三角形的面積最大。我們還可以推導(dǎo)出諸多結(jié)論：周長一定的矩形，正方形面積最大；所有具有相同面積的四邊形中正方形的周長最短；具有相同體積的正圓柱中，能夠內(nèi)接于一球的圓柱有最小表面積；在一給定的圓內(nèi)作內(nèi)接n邊形（n≥3），那么內(nèi)接正邊形具有最大面積。

以上，我們可以看到同類圖形中的面積、體積達(dá)到極值的圖形，不僅都是呈中心對稱的，而且都表現(xiàn)出完美的統(tǒng)一。

三、簡單美

簡單、明快既是數(shù)學(xué)美的直觀顯現(xiàn)，又反映數(shù)學(xué)的內(nèi)在美，許多復(fù)雜的客觀現(xiàn)象，總結(jié)為一定的規(guī)律，往往呈現(xiàn)為十分簡單的數(shù)學(xué)公式。牛頓第二定律，愛因斯坦的質(zhì)能方程E=mc2。

對簡單美的追求不僅表現(xiàn)在數(shù)學(xué)對象的簡單合理的表達(dá)形式上，還表現(xiàn)在對于困難和復(fù)雜問題的簡單解答上。正如法國哲學(xué)家狄諾德說：“數(shù)學(xué)中所謂美的問題，是指一個難以解決的問題，而所謂美的回答，則是指對于困難而復(fù)雜的問題簡單的解答。”許多數(shù)學(xué)題，其表面形式都很復(fù)雜，但其本質(zhì)總是存在簡單的一面。

例，長度為L（L≥1）的線段的兩端A，B在拋物線y=x2上移動，若這一線段的中點為M，求點M到X軸的最短距離。

解：如圖（1）

圖（1）

設(shè)拋物線的焦點為F，已知|AB|=L，在ΔAFB中，|AB|≤|AF|+|FB|。當(dāng)AB經(jīng)過F點時取等號，|AF|與|FB|的和此時最小，由拋物線定義：|AF|=|AA＇|，|BF|= |BB＇|。

此題如果不用幾何特征解決，則需要較高的代數(shù)變換技巧。這里充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的簡單性無限美感。

四、奇異美

奇異、突變是數(shù)學(xué)美的重要表現(xiàn)形式，它反映了現(xiàn)實世界中非常規(guī)現(xiàn)象的一個側(cè)面，給數(shù)學(xué)的發(fā)展帶來了新的活力。

例，l是所給的直線，A，B是l外同側(cè)給定的兩點，點P是直線l上的一個動點，在l上找出點P的位置，使∠APB有最大值（圖2）。

解：這個問題的解決不是一下子可以看出來的，不過，雖然還不知道這一點在哪里，但是對有這樣一點是毫不懷疑的。因為當(dāng)點P在直線l上移動時，∠APB的變化情形是：當(dāng)P是直線AB與l直線的交點O時，∠APB等于零；當(dāng)點P逐漸沿直線l向右移動時，∠APB逐漸增大，但當(dāng)P到直線l右端無窮遠(yuǎn)處時，∠APB趨近于零，可以判斷，在兩種極端的情形當(dāng)中∠APB一定有一個最大值——這就是我們相信一定存在所要求的點P。

圖（3）

從圖（2）中可以容易看出，如果一個點X不是極大位置，那么在極大位置的另一邊必然還有一點X＇，它與這一點有著相同的張角。因此，為了判斷某一點是不是極大位置，我們只需問，是不是在直線l上還有另一點與它有相同的張角。由平面幾何知識，過點A，B作圓，同一個圓周上的點都有相同的張角，并且凡是有相同張角的點必在同一圓周上。

過A，B作圓，如果所做的圓與直線l交于兩點X與X＇，那么X與X＇有相同的張角，這個角不是極大值，因為一個在X和X＇之間與l相交的圓就給出了最大值。如圖（3）也就是說，與l交于兩點的圓不可能給出最大角，那么達(dá)到最大值的點必在與l相切的圓上，這個切點就是所求點P。這樣我們就解決了這個問題。

數(shù)學(xué)中的奇異美，頗有一點“出乎意料”和“令人震驚”的意味。奇異美是指數(shù)學(xué)中的和諧性和統(tǒng)一性在一定條件下被破壞，是數(shù)學(xué)中的新思想、新方法對原有習(xí)慣法則和統(tǒng)一格局的突破，在解題中突破常規(guī)、大膽探求，另辟蹊徑，得出標(biāo)新立異的方法，就是一種奇異美。

（作者單位：武漢市十一初級中學(xué)）

責(zé)任編輯 王愛民