方形蜂窩夾芯夾層板彎曲問題的新解法

伍 莉，劉 均，程遠勝

（1武漢市第二船舶設計研究所，武漢 430064；2華中科技大學 船舶與海洋工程學院，武漢430074）

1 引 言

由于夾層結構具有重量輕、強度高的特點，同時也具有良好的抗振、隔聲和隔熱等性能，目前已被廣泛應用于航空航天、船舶及土木建筑等領域，因此研究各種形式夾層結構的力學特性顯得尤為重要。典型的夾層結構由其上下面板和中間的芯層所組成，按其芯層的結構形式可分為連續和離散兩種。在過去幾十年里，針對連續芯層的夾層結構，國內外學者進行了廣泛和深入的研究，取得了很多研究成果。對于離散芯層的夾層結構如棱柱形夾芯、折板夾芯、波紋形夾芯、四邊形蜂窩夾芯、六邊形蜂窩夾芯以及金字塔柵格夾芯等，由于結構形式的復雜性，其力學特性已成為目前國內外研究的熱點之一[1-4]。對離散芯層夾層結構，欲從理論上建立準確的力學模型，運用解析方法進行分析是比較困難的，目前國內外學者采用較多的一種方法，是將其結構進行均勻等效[5-7]，把離散的芯層等效為均勻的連續體，利用一定等效原則得到對應的力學參數，然后利用這些參數和連續體假設再對夾層結構進行力學分析。

本文針對方形蜂窩夾芯夾層板，應用離散的力學模型進行了研究，將其離散的芯層視為密加筋形式，在經典夾層板理論的基礎上[8]，利用能量原理推導出方形蜂窩夾芯夾層板離散模型的彎曲控制方程，然后假設夾層板位移為雙傅立葉級數形式，采用伽遼金法求解。

2 理論分析

2.1 基本假設

方形蜂窩夾芯夾層板由上下兩塊面板和中間的方形芯層所組成，如圖1所示。tt和tb為上下面板的厚度，tc和Hc為芯層薄壁的厚度和高度，Lc表示芯層薄壁的間距。在以下公式中，下標t和b分別表示上面板 （top）和下面板（bottom），下標 c表示芯層（core）。

以下分析都基于線彈性范圍內，基本假設為：

（1）夾層板的上下面板為普通薄板，沿用經典的薄板理論；

（2）芯層橫向不可壓縮；

（3）離散的芯層薄壁承受橫向彎曲和剪切，且假設整體芯層存在統一的位移場；

（4）夾芯中面法線在變形后保持直線，忽略芯層薄壁之間的交叉連接。

圖1 方形蜂窩夾芯夾層板示意圖Fig.1 Schematic diagram of a square-honeycomb sandwich plate

2.2 基本方程

2.2.1 幾何方程

對于上面板：

其中uk、vk和wk（k=t或b）分別表示上下面板的面內x向、y向的位移函數和橫向位移函數；uok和vok（k=t或b）分別表示上下面板中面面內x向、y向的位移函數，φxk和φyk（k=t或b）分別表示x法向和y法向轉角，zk（k=t或b）表示垂向坐標，垂向坐標的零點在各面板的中面上，方向向下；uc和vc分別表示芯層的面內x向和y向的位移函數；uoc和voc分別表示芯層中面面內x向和y向的位移函數；φxc和φyc分別表示芯層x法向和y法向轉角；zc為垂向坐標，垂向坐標的零點在芯層的中面上，方向向下；w為夾層板的橫向位移函數。

對上下面板和芯層的中面位移函數，根據變形協調性，存在如下關系：在上面板與芯層交界處

其中uci和wci分別為沿x軸方向的第i根薄壁的面內位移和橫向位移，vcj和wcj分別為沿y軸方向的第j根薄壁的面內位移和橫向位移，yi為沿x軸方向的第i根薄壁y軸坐標，xj為沿y軸方向第j根薄壁x軸坐標。

在線彈性范圍內，應變位移關系為：

對上下面板

式中，k＝t或b表示上面板或下面板。

對沿x軸方向的第i根薄壁

對沿y軸方向的第j根薄壁

式中，εxci和γxzi分別為沿x軸方向的第i根薄壁的正應變和剪應變；εycj和γyzj分別為沿y軸方向的第j

根薄壁的正應變和剪應變。

2.2.2 物理方程

假設材料為各向同性，對上下面板

式中，下標k＝t或b，E、μ為面板材料的彈性模量和泊松比。

對于芯層，沿x方向第i根薄壁：

沿y方向第j根薄壁：

其中Ec和μc為芯層材料的彈性模量和泊松比。

2.2.3 平衡方程

運用能量變分原理推導出夾層板在橫向載荷下的彎曲平衡方程。能量變分原理表示如下：

式中，U和V分別表示夾層板的應變能和外力功。δ表示一次變分。

夾層板總的應變能可以表示為：

式中，Ut、Uc和Ub分別表示上面板、芯層和下面板的應變能。它們可以分別表示為

在橫向載荷作用下，其外力功為：

3 方程求解

要求得以上方程準確的解析解是比較困難的，本文針對矩形方形蜂窩夾芯夾層板，運用伽遼金法求得近似解。

對于固支夾層板，其邊界條件為：

將上面的函數代入方程組 （20），運用伽遼金法可得到關于未知量代數方程組，當位移函數取有限項時，則得到其近似解。

4 算 例

為了驗證本文方法的正確性，針對某四邊固支和四邊簡支矩形方形蜂窩夾芯夾層板，運用本文方法得到了位移場和應力場結果，并與有限元數值仿真的結果進行了比較。

4.1 邊界條件為固支

矩形夾層板的幾何參數為：矩形夾層板長度a=205 mm，寬度b=165 mm，上面板厚度tt=2 mm，下面板厚度tb=2 mm，芯層薄壁的厚度tc=0.5 mm，芯層薄壁的高度Hc=10 mm，薄壁間距Lc=5 mm；材料參數為：面板和芯層為同種材料，其彈性模量E=Ec=2.1×105MPa，泊松比μ=μc=0.3。假設夾層板四邊剛固，承受橫向均布載荷q＝2.5 MPa。下面給出相關的位移和應力計算結果。為比較起見，有限元方法的相應結果也一并在圖中給出。

圖2和圖3給出了y=b/2和x=a/2處夾層板的橫向位移，從圖中可以看出本文方法和有限元法兩者計算結果吻合得比較好，本文解的最大位移為0.147 mm，而有限元解為0.148 mm，兩者非常接近。

圖4－7給出上面板的應力值，從圖中可以看出，在上面板上表面，本文方法得到的應力值和有限元解吻合較好，如圖4和圖5所示；但是在下表面，也即面板和芯層交界處，由于離散芯層薄壁局部加強的作用，有限元計算得到的應力值在芯層薄壁的位置會有較大的波動，如圖6和圖7所示，這是本文方法所不能模擬的，下面板的應力解類似于上面板，限于篇幅，不再累述。總體而言，本文半解析解的正應力結果和有限元解基本一致。

本文方法基于芯層的一階剪切理論，計算得到的芯層剪應力與有限元計算結果有所差異。

圖2 y=b/2處上面板橫向位移Fig.2 Lateral displacement of top face sheet at y=b/2

圖3 x=a/2處上面板橫向位移Fig.3 Lateral displacement of top face sheet at x=a/2

圖4 y=b/2處上面板上表面y方向正應力Fig.4 Normal stress distribution of upper surface of top face sheet in y direction at y=b/2

圖5 x=a/2處上面板上表面x方向正應力Fig.5 Normal stress distribution of upper surface of top face sheet in x direction at x=a/2

圖6 y=b/2處上面板下表面y方向正應力Fig.6 Normal stress distribution of lower surface of top face sheet in y direction at y=b/2

圖7 x=a/2處上面板下表面x方向正應力Fig.7 Normal stress distribution of lower surface of top face sheet in x direction at x=a/2

4.2 邊界條件為簡支

本算例中夾層板的幾何參數和材料參數與固支算例相同，但邊界為四邊簡支，承受橫向均布載荷q＝1 MPa，下面給出應用本文方法和有限元方法得到的相關位移和應力計算結果。

圖8和圖9給出了y=b/2和x=a/2處夾層板的橫向位移，從圖中可以看出本文方法和有限元法計算結果吻合得比較好。圖10－13給出上面板的應力值，從圖中可以看出在上表面，兩者比較接近，在下表面，和固支邊界條件計算結果相似，由于離散芯層的局部影響，有限元計算的應力有一些波動，但總體而言，兩者基本一致。上述結論與固支邊界夾層板結論相似。

圖8 y=b/2處上面板橫向位移Fig.8 Lateral displacement of top face sheet at y=b/2

圖9 x=a/2處上面板橫向位移Fig.9 Lateral displacement of top face sheet at x=a/2

圖10 y=b/2處上面板上表面y方向正應力Fig.10 Normal stress distribution of upper surface of top face sheet in y direction at y=b/2

圖11 x=a/2處上面板上表面x方向正應力Fig.11 Normal stress distribution of upper surface of top face sheet in x direction at x=a/2

圖12 y=b/2處上面板下表面y方向正應力Fig.12 Normal stress distribution of lower surface of top face sheet in y direction at y=b/2

圖13 x=a/2處上面板下表面x方向正應力Fig.13 Normal stress distribution of lower surface of top face sheet in x direction at x=a/2

5 結 論

本文研究了方形蜂窩夾芯夾層板彎曲問題，在經典夾層板理論基礎上，利用能量原理推導出方形蜂窩夾芯夾層板離散模型的彎曲控制方程，運用伽遼金法求解。理論分析和數值計算結果表明：

（1）本文方法簡單，收斂較快，計算量小，具有很好的精度，利用本文方法能夠較準確地得到夾層板橫向彎曲的位移場分布；

（2） 利用本文方法能夠從整體上較好地預測上下面板的應力值 （下面板的應力值和上面板類似），但是由于本文方法是基于整體上的假設，對于局部變形所導致的應力局部變化不能很好地模擬，這也是今后需要進一步探討和研究的。

（3）本文方法基于芯層的一階剪切理論，故計算得到的芯層剪應力與有限元計算結果有所差異，今后可采用高階剪切理論，進一步提高計算精度。

（4）該方法直接對夾層板的離散模型建立平衡方程，夾層板的實際幾何參數和材料參數全部保留在方程中，能夠方便地在本文方法的基礎上對方形蜂窩夾層板進行參數化研究和結構優化設計。

該方法為有效、快捷地分析夾層板的力學性能提供了新的途徑，也為以后的研究提供了理論參考和依據。

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