轉化思想是解題的一把金鑰匙

?海倫市第二中學 郭 媛

轉化思想是一種重要的數學思想，它蘊涵著極其豐富的內容，應用非常廣泛.在解數學題時，運用轉化思想可化繁為簡，把握解題的關鍵，突破解題的難點，探明解題的思路，獲得新穎、獨特的解題方法，從而提高解題的能力.可見，轉化思想確實是解題的一把靈巧的金鑰匙，現舉例說明如下.

一、一般問題特殊化

例1：方程（m+1）x4-（3m+3）x3-2mx2+18=0對任何實數m都有一個共同的實數解，試求這個實數解.

分析：本題應抓住兩個關鍵詞：一是“任何實數”，二是“一個共同的解”，這樣就可以把一般問題轉化成特殊問題來解.

解：因為m為任何實數，不妨取m=-1和m=0兩種情形，將m=-1代入原方程，得：2x2-18=0，

解這個方程，得：x=±3；

將m=0代入原方程，得：x4-3x3=0，

解這個方程，得：x=0或x=3.

因為這兩個方程只有公共解x=3，所以方程共同的實數解是x=3.

二、不等問題相等化

例2：已知不等式a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c，求滿足不等式的實數a、b、c的值.

分析：一個不等式，三個待定未知量，不免令人困惑，但仔細揣摩條件，變換思考角度，不難想到向相等方面轉化.

解：因為a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c可變形為：

所以a=1，b=2，c=1.

三、方程問題不等式化

例3：一個邊數是奇數的凸多邊形中，除兩個內角外，其余內角和為2 390°，求這個多邊形的邊數.

分析：此題如用方程解，難于下手，如根據多邊形內角和定理及內角的取值范圍來，求邊數的取值范圍，可迎刃而解.

解：設這個多邊形的邊數為n，由于多邊形每個內角大于0°且小于180°，根據多邊形內角和定理得：2 390°＜（n-2）×180°＜2 390°+180°×2，

又因為n是奇數，故n＝17，這個多邊形是17邊形.

四、函數問題方程化

例4：已知拋物線y=x2-5mx+4m2（m為常數），求證：此拋物線與x軸一定有交點.

分析：要證拋物線與x軸有交點，可以轉化成證明一元二次方程一定有實數解的問題.

解：若x2-5mx+4m2=0，

則Δ=（-5m）2-16m2=9m2≥0，

即一元二次方程x2-5mx+4m2=0有實數解，

故知拋物線y=x2-5mx+4m2與x軸一定有交點.

五、正面問題反面化

例 5：設三個二次方程 x2+4mx+4m2+2m+3=0，x2+（2m+1）x+m2=0，（m-1）x2+2mx+m-1=0，它們中至少有一個方程有實根，求m的取值范圍.

分析：此題從正面入手，須要分多種情況進行討論，運算相當繁冗，不如變換思考角度，從反面突破.

解：若三個方程均無實數根，則：

Δ1=（4m）2-4（4m2+2m+3）＜0，

Δ2=（2m+1）2-4m2＜0，

Δ3=4m2-4（m-1）2＜0.

所以符合題意的m的取值范圍為：

六、變量問題常量化

例6：解方程：x3+10x2+25x+4=0.

分析：這是關于x的三次方程，想通過降次解出x很不容易，若把常量a視為變量，把變量x視為常量，問題可迎刃而解.

解：把原方程變為：x×52+（2x2+1）×5+（x3-1）=0.

解關于5的一元二次方程得：