局域電荷體系的電勢(shì)

（武漢理工大學(xué)理學(xué)院 武漢 430063）

0 引 言

某些靜電場(chǎng)問(wèn)題中，電荷只分布在一個(gè)小區(qū)域內(nèi)，而需要求遠(yuǎn)處產(chǎn)生的電場(chǎng)，如原子核作用到電子上的電場(chǎng)．因?yàn)樵雍说碾姾煞植加?0－15m線度內(nèi)，而原子內(nèi)電子到原子核的距離在10－10m．在處理這種問(wèn)題時(shí)，可以近似地把原來(lái)的電荷體系集中起來(lái)看作是一個(gè)點(diǎn)電荷；但當(dāng)體系的總電荷為零，或進(jìn)一步需要更高的精確度時(shí)，就必須考慮到體系的偶極矩，即把體系看作是一個(gè)點(diǎn)電荷與一個(gè)偶極子的迭加．同樣在體系的偶極矩為零，或需要更高的精確度時(shí)，就要引入更高的電矩．如所有的原子核的偶極矩都等于零時(shí)，在下一次近似或解決一些精細(xì)的效應(yīng)（如光譜的超精細(xì)結(jié)構(gòu)）時(shí)，就需要考慮到它的四極矩，即把它看作為一個(gè)點(diǎn)電荷與一個(gè)四極子的迭加．

1 連續(xù)分布電荷體系在遠(yuǎn)場(chǎng)所產(chǎn)生的電勢(shì)

假定有一個(gè)任意連續(xù)分布在小區(qū)域v內(nèi)的電荷體系，其體電荷密度為ρ（x′），取坐標(biāo)原點(diǎn)在v以內(nèi)，它所激發(fā)電場(chǎng)的電勢(shì)［1－2］為

式中：R為源點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)的距離，由于考慮的是局域電荷體系在遠(yuǎn)區(qū)所產(chǎn)生的電勢(shì)，所以R遠(yuǎn)大于小區(qū)域v的線度l，可以把式（1）表為的泰勒展開(kāi)式

式中：R0為原點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)的距離．從式（2）看出，連續(xù)帶電體的單極矩，偶極矩，四極矩，八極矩，…，多極矩［3－6］為

這就是連續(xù)分布的電荷體系在遠(yuǎn)區(qū)激發(fā)的電勢(shì)的多極展開(kāi)．電四極矩用并矢形式表示

由式（4）可得出結(jié)論，連續(xù)分布在小區(qū)域v內(nèi)的電荷體系對(duì)遠(yuǎn)區(qū)的電場(chǎng)來(lái)說(shuō)，可以用一系列位于原點(diǎn)的多極子代替，即集中在一個(gè)小區(qū)域v內(nèi)的連續(xù)分布電荷體系，可以表為位于原點(diǎn)的各級(jí)多極子的迭加．其理解如下：一個(gè)連續(xù)分布在小區(qū)域v內(nèi)的電荷體系，在零級(jí)近似中，可將它集中起來(lái)作為一個(gè)位于原點(diǎn)的點(diǎn)電荷看待．此項(xiàng)集中所引起的誤差為一連續(xù)的偶極分布，因?yàn)閷㈦姾稍眩▁′）dv′集中到原點(diǎn)的過(guò)程中，每移動(dòng)一個(gè)小位移dx′所產(chǎn)生的誤差就等于位于該處的一個(gè)偶極元ρ（x′）dv′dx′．在一級(jí)近似中，考慮到這項(xiàng)誤差而作了進(jìn)一步的改正，即增加了一項(xiàng)位于原點(diǎn)的偶極子的電勢(shì)來(lái)代替此偶極分布的電勢(shì)．同樣，將偶極分布集中為一個(gè)偶極子所引起的誤差為一個(gè)四極分布．在二級(jí)近似中，又進(jìn)一步作了改正，將此四極分布集中起來(lái)作為一個(gè)位于原點(diǎn)的四極子，即增加了一項(xiàng)位于原點(diǎn)的四極子的電勢(shì)來(lái)代替此四極分布的電勢(shì)，引起的誤差為一個(gè)八極分布．余類推．

2 式（3）中各項(xiàng)物理意義

圖1 電偶極矩

圖2 電四極矩各分量物理意義

下面說(shuō)明電四極矩只有5個(gè)獨(dú)立分量．若?張量的跡為0，即?11＋?22＋?33＝0，則張量便只有5個(gè)獨(dú)立分量．以下可以證明在保證電勢(shì)ψ保持不變的前提下，可以使四極矩的二階對(duì)稱張量的跡為零．

由此可知，重新定義后的電四極矩，既不改變電勢(shì)ψ（2）的大小（這是必須保證的），又使四極矩二階張量的對(duì)角元素之和（稱為張量的跡）為0，這就說(shuō)明了四極矩只有5個(gè)獨(dú)立分量．

對(duì)于其他各極子也相仿．

3 結(jié)束語(yǔ)

連續(xù)分布在小區(qū)域v內(nèi)的電荷體系在遠(yuǎn)場(chǎng)所產(chǎn)生的電勢(shì)，可表為位于原點(diǎn)的各級(jí)多極子在遠(yuǎn)場(chǎng)所產(chǎn)生的電勢(shì)的疊加，而連續(xù)分布電荷體系可用位于原點(diǎn)的各級(jí)多極子代替．即：連續(xù)分布在小區(qū)域V內(nèi)的電荷體系在遠(yuǎn)場(chǎng)所產(chǎn)生的電勢(shì)，在零級(jí)近似中，等于位于原點(diǎn)的電荷體系在遠(yuǎn)場(chǎng)所產(chǎn)生的電勢(shì)；在一級(jí)近似中，等于位于原點(diǎn)的電荷體系在遠(yuǎn)場(chǎng)所產(chǎn)生的電勢(shì)＋中心位于原點(diǎn)的一組偶極子在遠(yuǎn)場(chǎng)所產(chǎn)生的電勢(shì)；在二級(jí)近似中，等于位于原點(diǎn)的電荷體系在遠(yuǎn)場(chǎng)所產(chǎn)生的電勢(shì)＋中心位于原點(diǎn)的一組偶極子在遠(yuǎn)場(chǎng)所產(chǎn)生的電勢(shì)＋中心位于原點(diǎn)的一組四極子在遠(yuǎn)場(chǎng)所產(chǎn)生的電勢(shì)；在三級(jí)近似中，等于位于原點(diǎn)的電荷體系在遠(yuǎn)場(chǎng)所產(chǎn)生的電勢(shì)＋中心位于原點(diǎn)的一組偶極子在遠(yuǎn)場(chǎng)所產(chǎn)生的電勢(shì)＋中心位于原點(diǎn)的一組四極子在遠(yuǎn)場(chǎng)所產(chǎn)生的電勢(shì)＋中心位于原點(diǎn)的一組八極子在遠(yuǎn)場(chǎng)所產(chǎn)生的電勢(shì)；余類推，可得連續(xù)分布在小區(qū)域v內(nèi)的電荷體系在遠(yuǎn)場(chǎng)所產(chǎn)生的電勢(shì)ψ（x）的各級(jí)近似

［1］趙凱華，陳熙謀．電磁學(xué)［M］．北京：人民教育出版社，1979．

［2］四川大學(xué)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)教研組．高等數(shù)學(xué)：第四冊(cè)［M］．北京：人民教育出版社，1979．

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