Neumann邊界條件下圖像復原的TSVD算法＊

楊陳波 黃小為 王 華

（武漢理工大學自動化學院1） 武漢 430070） （武漢理工大學理學院2） 武漢 430070）

（湖北省公安縣職業技術教育中心學校3） 荊州 434300）

數字圖像復原是圖像處理中的重要內容，其目的是增強降質模糊圖像的質量．數字圖像復原問題是典型的不適定問題，模糊圖像即使帶有很小的噪聲也會導致復原圖像與原始圖像的巨大偏差．正則化方法是求解不適定問題的重要方法［1］．Kirsch用基于譜分析理論，通過引入正則化濾子函數構造正則化算子，為正則化方法的建立和誤差分析提供了理論依據．然而這種譜理論的正則化方法在圖像復原問題中很少被采用，關鍵問題在于奇異系的計算較困難．人們通常求助于不需要計算奇異系的Tikhnov正則化方法和迭代正則化方法．但是，在Neumann邊界條件假設下，具有對稱點擴散函數的圖像復原問題可以轉化為解離散卷積問題，通過對離散卷積算子的性質分析，其奇異系容易得到，因此本文考慮利用TSVD方法解決這一類問題，并給出相應的算法．

1 Neumann邊界條件下圖像復原的TSVD算法

1.1 圖像降質模型

由平移不變模糊函數和噪聲所導致的圖像降質離散模型可表示為

式中：f為M×N的原始圖像；g＝g0＋r為帶有噪聲的模糊圖像，而g0是由成像系統導致的模糊圖像，r為噪聲；i＝m，…，M－m＋1；j＝n，…，N－n＋1．大小為（2m－1）×（2n－1）的h（s，t）表示成像系統的二維點擴散函數（PSF）．圖像復原問題就是在給定點擴散函數h（s，t）的條件下，將帶噪聲的模糊圖像復原［2－3］．

模糊圖像的形成不是只由圖像本身像素值確定，還必須對圖像外的像素值作出一些假設，這些假設稱為邊界條件．在圖像處理問題的研究中，有各種關于邊界條件的假設［4－8］．為了盡量減少圖像邊界處的振鈴現象［9］，文中假設原始圖像具有Neumann邊界條件．在本文中，還假定離散的點擴散函數h∈R（2 M－2）×（2 N－2）是對稱的，即滿足

1.2 圖像復原問題轉化為解離散卷積問題

假設大小為M×N的原始圖像f具有Neumann邊界條件，對f作反射延拓得到大小為（2 M－2）×（2 N－2）的圖像F，即滿足

此時F與H的卷積滿足

于是問題（1）轉化為解卷積問題（3）．定義離散卷積算子TH：R（2M－2）×（2N－2）→R（2M－2）×（2N－2），

通過計算算子方程（5）的正則解，可得復原的圖像．

由式（4）定義的卷積算子TH是自伴的，即＝TH，而且關于奇異系還有如下結論．

1.3 TSVD圖像復原算法

設X，Y是實Hilbert空間，內積為（·，·），模為‖·‖，T：X→Y是線性緊算子，考慮算子方程

在實際問題中，右端是近似已知的觀測結果，記為yε∈Y，y－yε≤ε（ε＞0為方程（6）右端的誤差上限）．因此考慮方程

對于TSVD正則解的誤差有如下結果：

由定理1的結果，可以確定卷積算子TH的奇異系，將其代入式（8）中計算出復原結果，按定理2中的方法選取正則參數，即截斷奇異值．

2 圖像復原實驗

為了驗證圖像復原的TSVD算法的有效性，考慮散焦型模糊圖像的復原．原始圖像（Matlab中的cameraman圖像）被半徑為5的散焦型離散點擴散函數模糊，所得模糊圖像大小為246×246，并帶有信噪比為50dB的高斯白噪聲（均值為0），復原實驗由 MTLAB7．0實現．原始圖像，帶噪模糊圖像及復原圖像見圖1～3．

圖1 原始圖像

圖2 模糊加噪圖像

圖3 復原圖像

3 結束語

通過數值實驗表明，本文提出的方法對具有對稱點擴散函數的模糊（含有噪聲）圖像復原有很好的效果，振鈴效應大大減弱．雖然復原效果比沒有噪聲的圖像復原效果稍差，但實際問題中圖像通常含有噪聲，因此本文算法更具有實際應用價值．圖像復原問題是大規模的不適定問題，通常的算法是基于Tikhnov正則化方法和迭代正則化方法給出的，但是在Tikhnov正則化算法中，正則參數需要大量的計算才能確定，而在迭代正則化算法中，雖然迭代參數即為迭代次數，正則參數容易確定，但是通常收斂非常緩慢，迭代次數相當大，也導致較大的計算量．由于圖像復原問題在Neumann邊界條件下轉化為解循環卷積問題，其算子的奇異系容易得到，于是基于TSVD正則化方法的算法得以實現，其解的穩定性依賴于為奇異值的截斷，算法的計算量大大減少．

［1］Engl H W，Hanke M，Neubauer A．Regularization of inverse problems［M］．Dordrecht：Kluwer，1996．

［2］Jain A K．Fundamentals of digital image processing［M］．Englewood Cliffs NJ：Prentice－Hall，1989．

［3］Lagendijk R L，Biemond J．Iterative identi－cation and restoration of images［M］．Norwell MA：Kluwer Academic Publishers，1991．

［4］Kirsch A．An introduction to the mathematical theory of inverse problems［M］．New York：Springer，1996．

［5］Gonzalez R，Woods R．Digital Image Processing［M］．Boston MA：Addison－Wesley，1992．

［6］Ng M K，Chan R H，Tang W C．A fast algorithm for deblurring models with Neumann boundary conditions［J］．SIAM J．Sci．Comput．，1999，21：851－866．

［7］Serra－Capizzano S．A note on antireflective boundary conditions and fast deblurring models［J］．SIAM J．Sci．Comput，2003，25：1 307－1 325．

［8］Shi Yuying，Chang Qianshun．Acceleration methods for image restoration problem with different boundary conditions［J］．Applied Numerical Mathematics，2008，58：602－614．

［9］Luk F，van Devoorde D．Reducing boundary distortion in image restoration［C］∥Advanced SignalProcessing Algorithms，Architectures and Implementations VI，Proceedings of SPIE 2296，1994．

［10］黃小為，吳傳生，李卓球．TSVD正則化方法的參數選取及數值計算［J］．華中師范大學學報：自然科學版，2006，40（2）：154－157．