孔穴圓柱齒輪有限元建模與動態激勵響應分析

（二炮工程學院裝備管理系 西安 710025）

0 引 言

艦艇噪聲關系到行船的安全．船用齒輪箱的噪聲是船舶噪聲的主要組成部分，而齒輪箱的噪聲主要是由齒輪相互嚙合產生的［1］．因此建立齒輪系統的有限元模型，計算激勵下的動態響應成為齒輪設計的前提條件［2］．

有關實驗表明，在齒輪端面打孔可以增大齒輪柔度，從而減小齒輪的嚙合沖擊，在降噪減振方面有明顯的效果［3］．

本文以廣泛應用于船舶傳動的圓柱齒輪為例，主要介紹齒輪系統建模和有限元網格的算法；綜合考慮齒輪系統動態激勵的影響，對系統的振動響應進行了求解和分析，對普通齒輪與孔穴齒輪的振動響應作出比較，為孔穴圓柱齒輪的動態設計提供了依據．

1 孔穴圓柱齒輪三維有限元建模

孔穴圓柱齒輪的基本參數見表1．

1.1 斜齒輪端面節點的確定

斜齒輪的端面齒廓是由漸開線、齒根過渡曲線和輪體端面曲線組成．本文計算的斜齒輪齒廓按滾切方法展成．

表1 齒輪基本參數

1）中間輪齒端面節點的確定 考慮到三維有限元分析巨大的計算量，因而端面網格不宜劃分的過細．因此在漸開線上取8個點，在過渡曲線上取7個點．

（1）漸開線上節點的確定 取步長

式中：S1為開始切削時齒條坐標系離固定坐標系的距離；S2為退出切削時齒條坐標系離固定坐標系的距離，見圖1．

式中：i＝1，2，…，8．

將S代入式（1）和（2）可求出漸開線上8個節點的坐標．沿齒厚方向按角度4等分，利用式（3）可求出漸開線端面節點坐標．

刀具切削點坐標

圖1 滾切齒輪的幾何關系

式中：mn為法面模數；β為螺旋角；αt為端面壓力角；cn為變位系數；rf為分度圓半徑；AQ為相應漸開線上節點與中心線的夾角，i＝－1，－0．5，0，0．5，1；x，y為相應漸開線端面節點坐標．這樣漸開線端面共獲得40個節點．

（2）過渡曲線上節點的確定 取步長

式中：S22為刀刃圓角退出時齒條坐標系離固定坐標系的距離．

切削點S＝S1－SH（i－1）．式中：i＝1，2，…，7．

將S代入式（4）和（5），可求出過渡曲線上7個節點的坐標．

刀具圓角切削點坐標

式中：rt為刀刃圓角曲率半徑；其余參數與式（1）和（2）相同．

同樣，沿齒厚方向按角度4等分，假定節點從左到右依次編號為j＝1，2，…，5．

當j＝1，5，取RDD＝0；當j＝2，4，取RDD＝0．015（2．5mt）（i－1）；當j＝3，取RDD＝0．027（2．5mt）（i－1）．式中：mt為端面模數；i為過渡曲線上的節點，i＝1，2，…，7．

過渡曲線端面節點坐標計算如式（3），只是rs＝rs－RDD．這樣過渡曲線端面共獲得35個節點．

2）左鄰齒端面節點的確定 兩鄰齒間的夾角ZQ＝2π／Z，則

式中：x（l），y（l）為中間齒端面節點坐標；x1（l），y1（l）為相應左鄰齒端面節點坐標．

3）右鄰齒端面節點的確定

4）輪體端面節點的確定 通過計算得到中間輪齒過渡曲線與齒根圓交點即過渡曲線上第7個節點的角度AQ，兩鄰齒間的夾角ZQ在上面已經求出，則輪體端面由左向右相應節點的角度為

當j＝3，9，15，取RDD＝0．5mt；當j＝2，4，8，10，14，16 取RDD＝0．25mt；當j＝其他，取RDD＝0．

這里取為3層，即i＝1，2，3．這樣總共得到51個節點．確定后的斜齒輪端面節點見圖2．

圖2 斜齒輪端面節點

經過反復試驗以及驗證，上述節點確定方法應用簡便，形成的單元形狀整齊，操作容易，計算精度高．

1.2 整個斜齒輪所有節點的生成

斜齒輪齒面可看作是由直齒輪根據旋向扭轉而成，沿齒向在z＝b處取一平行于端面的截面，該截面相對于端面扭轉了θ角，則θ＝btanβb／rb．式中：βb為基圓螺旋角；rb為基圓半徑．截面坐標（x，y，z）與端面坐標（x1，y1，z1）間有以下變換關系

沿齒輪軸向方向將輪齒等分，采用上面計算公式就可以求出整個斜齒輪上的所有節點．

1.3 斜輪齒打孔的三維有限元網格生成

1）齒輪網格密化 考慮到在畫打孔齒輪的網格時，孔的形狀并不是光滑的圓形，而是由多條直線段構成，密化網格可以使其曲線更光滑．

網格的密化分成以下幾部分：（1）沿齒高方向：因過渡曲線部分在原程序中間距相當小，因此未進行密化，在齒高方向，對原來的漸開線齒廓部分和齒根部分進行了密化；（2）沿齒厚方向：除不與齒根過渡曲線相連的齒根部分外，其余均進行了一次密化．圖3為密化過的單齒齒輪端面．

圖3 密化后的單齒齒輪端面

2）多齒齒輪打孔的實現 將在孔附近結點的坐標重新分布，并求出與打孔相關結點的編號，然后計算出多齒模型的結點坐標，將帶孔模型的有限元網格單元編號輸入到數組中，圖4為C1＝1．0，C2＝0．6時有孔的5齒齒輪模型．

圖4 帶孔5齒齒輪模型

2 齒輪系統動態激勵與動力學分析

2.1 激勵分析和響應計算

當原動機和負載運轉平穩，齒輪系統加工和裝配精度較高時，齒輪內部激勵是齒輪系統動態激勵的主要部分．此外，由于內部激勵的存在，即使沒有外部激勵，齒輪系統也會產生振動和噪聲［4－5］．因此，本文針對這種情況僅研究齒輪嚙合時的內部激勵，而內部激勵包括剛度激勵、誤差激勵和嚙合沖擊激勵．圖5為單對齒輪模型．

圖5 單對齒輪模型

根據牛頓力學定律，單對齒輪傳動系統的運動方程可表示為

式中：K（t）為齒輪嚙合剛度，且為時間的周期函數；m為齒輪副當量質量，，其中：m和1m2為齒輪的當量質量，其中mi＝Ji／（i＝1，2），J為齒輪回轉慣量，rb為齒輪基圓半徑；x為齒輪副在嚙合線上的相對位移量，并且x＝x1－x2，x1和x2是齒輪線位移坐標，xi＝rbiθi（i＝1，2），θ為齒輪角位移；C為阻尼系數；P為由轉扭矩T作用產生的端面法向力，包括齒輪嚙合沖擊力；Ki為第i對齒的嚙合剛度；ei為第i對齒的綜合誤差．

將式（11）中的周期性激勵函數分解為一系列不同的簡諧函數來處理．設周期激振函數F（t）為F（t）＝F（t±iT），（i＝1，2，…，n），則周期激振可表達為

式中：ω＝2π／T，T是一個振動波所需要的時間，此處為齒輪嚙合周期．

將式（11）和（12）代入式（10）可得如下方程mΔx″＋CΔx′＋Δx＝

式中：第一項a0／2表示一個常力，它只影響系統的靜平衡位置．只要坐標原點取在靜平衡位置，此常數項就不出現在微分方程中，下面就不再記入這一項．

微分方程式（13）的解分成2部分：一部分是有阻尼的自由振動的齊次解，這部分振動在阻尼的作用下經過一段時間就會衰減掉．在考慮穩態振動時同樣可以略去．另一部分是穩態振動的非齊次解，是周期性的等幅振動．對于線性系統來說，穩態振動的解可以按照疊加原理，將所有特解疊加起來，就得到系統在周期激振力作用下的穩態響應．即將式（13）按式（14）求其特解

然后將得到的特解進行疊加獲得齒輪系統在剛度激勵和嚙合沖擊激勵作用下的的穩態響應為

式中：λi＝iω／p，ω即齒輪系統嚙合頻率；p為齒輪系統固有頻率，且有p＝

由于齒輪的噪聲與齒輪振動加速度均方根值成正比，因此振動加速度的均方根值可以近似的表示齒輪的振動和噪聲的大小．對上面的穩態響應求二階導，得到齒輪系統的加速度響應為

然后由式（17）求得齒輪系統加速度穩態響應的均方根值來表示齒輪系統的振動噪聲．

2.2 動態響應結果分析

按照上述計算方法，得到齒輪系統在激勵下的動態響應曲線見圖6～7．

從圖6～7可以看出：

1）圖中出現的峰值是齒輪系統固有頻率和嚙合頻率比較接近，產生共振造成的，因此振動較大．因為孔穴齒輪固有頻率降低，造成孔穴齒輪的峰值較普通峰值提前．根據公式p＝計算出的普通齒輪系統和孔穴齒輪系統固有頻率分別為2 357．991Hz和2 308．425Hz．從峰值處數據可以看出，孔穴齒輪的振幅小于普通齒輪的振幅．

圖6 普通斜齒輪在綜合激勵下的動態響應

圖7 孔穴斜齒輪在綜合激勵下的動態響應

2）將齒輪振幅曲線下的面積做積分處理，得到的普通齒輪系統和孔穴齒輪系統的平均振幅分別為27．341m／s2和24．809m／s2，平均振幅下降了9．26%．

圖8和圖9是當轉速在4 451．35r／min時，各齒輪系統的加速度響應曲線，圖中曲線時間長度是三個周期．孔穴齒輪系統的加速度均方根為21．396m／s2，普通齒輪系統的加速度均方根為24．007m／s2，孔穴齒輪系統相對于普通齒輪系統的振幅下降了10．88%．

圖8 普通斜齒輪加速度響應曲線

3 結束語

通過大量電算表明：圓柱齒輪根據不同要求在輪齒上開適當的孔——孔穴圓柱齒輪，具有比較明顯的降噪效果，是一種可行的降低噪聲的新方法．特別是在高速運轉時，振動加速度值和噪聲值下降幅比較大．同時，孔穴圓柱齒輪加工工藝簡單，無需專用設備，是值得重視和進一步探討的一種新型齒輪傳動型式．

圖9 孔穴斜齒輪加速度響應曲線

［1］王世安．船用齒輪設計技術的發展趨勢［J］．熱能動力工程，2003，18（6）：547－552．

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