無人飛行器參數依賴魯棒控制研究

支岳，趙國榮，宋超

(海軍航空工程學院控制工程系，山東煙臺 264001)

引言

在無人飛行器控制器的設計中不可避免地會遇到飛行器參數的不確定性問題。以往的不確定系統魯棒分析和綜合方法大多建立在二次穩定的概念基礎上，對系統的所有不確定性，用一個公共的Lyapunov函數來分析系統的性能，由此得到的結果必然具有較大的保守性。為了降低結果的保守性，基于參數依賴Lyapunov穩定思想對凸多面體不確定系統進行分析和綜合成為近年來魯棒控制領域的前沿研究課題［1］。當前的許多文獻研究了線性不確定系統參數依賴控制器的設計問題［2-3］，針對非線性不確定系統的參數依賴控制器設計研究還比較少。

考慮到用四元數描述剛體姿態運動不會像歐拉角那樣產生運動學方程的奇異［4］，本文選用誤差四元數作為無人飛行器姿態運動描述參數，對飛行器進行控制器設計。首先基于參數依賴Lyapunov穩定條件得到了控制器存在的充分條件，然后基于文獻［5］對非線性矩陣不等式中的非凸項進行了相應的處理，并應用平方和(Sum of Squares，SOS)方法得到無人飛行器的參數依賴魯棒控制器，最后通過仿真對控制器的性能進行了驗證。

1 問題描述

飛行器在體軸坐標系中繞質心轉動的動力學方程通常可以表示為:

式中，ω =［ω1，ω2，ω3］∈R3為飛行器在體軸坐標系下的角速度;J∈R3×3為對稱正定的轉動慣量矩陣;M=［M1，M2，M3］T∈R3為力矩向量。對于任意向量 ξ = [ ξ1ξ2ξ3]T∈R3，符號 ξ×表示如下的斜對稱矩陣:

基于姿態四元數與角速度的關系可得飛行器相對姿態誤差運動學方程為:

式中，qe=［qe0，］T為誤差四元數;ωe=［ωe1，ωe2，ωe3］T為當前角速度與指令角速度的偏差。

將［qe0，qe1，qe2，qe3，ωe1，ωe2，ωe3］T作為狀態變量［x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7］T，則飛行器的姿態方程為:

假設無人飛行器的轉動慣量矩陣J存在不確定性，則系統可描述為如下的參數依賴方程:

2 參數依賴魯棒控制器設計

飛行器姿態控制系統所考慮的任務是對給定指令姿態四元數qd，尋求合適的控制律，使飛行器在系統參數存在不確定性的情況下，使得誤差四元數qe=［1，0，0，0］T。

為了降低保守性，選用如下的參數依賴Lyapunov方程:

下面給出參數依賴魯棒鎮定控制器的設計方法。

定理1:給定凸多面體非線性系統(5)和形如式(8)的狀態反饋控制器，則閉環系統(9)對于所有的θ∈Θ魯棒穩定的充分條件為存在矩陣函數Xi(x)=(x)＞0，Y(x)，W 以及標量 ε 滿足

用Pθ(x)對式(17)進行全等變換，即可得到(x)＜0。因此式(8)的狀態反饋控制器，保證了閉環系統(9)對于所有的θ∈Θ魯棒鎮定。

定理1基于參數依賴Lyapunov穩定條件設計了魯棒狀態反饋控制器，而且在定理中解除了Lyapunov矩陣函數與系統矩陣之間的耦合乘積項。

下面先對平方和多項式做出如下定義:

定義1［6］:一個具有n個變量的多項式 p(x)稱為平方和多項式，如果存在 fi(x)∈Rn，i=1，…，m滿足

式中，Rn為具有n個變量的實系數多項式集合。

推論1:給定凸多面體非線性系統(5)和形如式(8)的狀態反饋控制器，則閉環系統(9)對于所有的θ∈Θ魯棒穩定的充分條件為存在矩陣函數Xi(x)=(x)＞0，Y(x)，W 以及標量 ε，常數 pi＞0，平方和多項式 qil(x)＞0(對任意的 x≠0，(i，l=1，…，s))，如下問題的最優值為0。

使得

Υi12如式(13)所示，ΣSOS表示平方和多項式集合，則控制器增益矩陣由式(14)給出。

3 數學仿真

考慮不確定的無人飛行器狀態方程(5)以及標稱方程(4)，假設飛行器為軸對稱型，則飛行器的標稱主轉動慣量分別為:J11=72 kg·m2，J22=60 kg·m2，J33=55 kg·m2，其在式(5)中的轉動慣量矩陣為:

固定θ1=0.2，分別將基于二次穩定性理論與推論1設計得到的控制器作用于飛行器，誤差四元數響應比較如圖1所示。

圖1 二次穩定方法與推論1方法誤差四元數響應曲線

由圖1可以看出，采用推論1的方法設計的控制器能夠使系統具有更好的動態性能。

將θ在［0，1］之間每隔0.1進行插值得到系統(5)兩個頂點間的11個插值系統，采用式(22)的控制律作用下進行仿真，可以得到誤差四元數、控制力矩以及角速度誤差的響應曲線組如圖2～圖4所示。

圖2 誤差四元素響應曲線組

圖3 控制力矩響應曲線組

圖4 角速度誤差響應曲線組

由圖2～圖4可以看出，采用式(22)的控制器使系統在參數不確定的情況下，依然能夠保持良好的跟蹤，并且具有較好的動態性能。

4 結束語

本文選用誤差四元數作為無人飛行器姿態運動描述參數，考慮系統參數存在不確定性的情況下，在控制器設計中融入了參數依賴Lyapunov穩定思想，將控制器存在的充分條件轉化為一組非線性參數依賴矩陣不等式的求解問題，通過引入附加松弛矩陣分離了Lyapunov矩陣和系統矩陣，并應用平方和方法求解得到了控制器。仿真結果表明了本文所提出的控制器設計方法的有效性。

［1］ Chesi G，Garulli A，Tesi A，et al.Polynomially parameterdependent Lyapunov functions for robust stability of polytopic systems:An LMI approach［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2005，50(3):365-370.

［2］ Gao H J，Shi P，Wang J L.Parameter-dependent robust stability of uncertain time-delay systems［J］.Journal of Computational and Applied Mathematics，2007，206(1):366-373.

［3］ Oliveira R C L F，Peres P L D.LMI conditions for robust stability analysis based on polynomially parameter-dependent Lyapunov functions［J］.Systems ＆ Control Letters，2006，55(1):52-61.

［4］ 華瑩.空間飛行器大角度機動控制律設計［J］.宇航學報，2006，27(6):1223-1227.

［5］ Ma H J，Yang G H.Fault tolerant control for nonlinear systems:Sum of squares optimization approach［J］.International Journal of Robust and Nonlinear Control，2009，19(5):591-610.

［6］ Prajna S，Papachristodoulou A，Seiler P，etal.SOSTOOLS:Control applications and new developments［C］//2004 IEEE International Symposium on Computer Aided Control Systems Design.Taipei，Taiwan:IEEE，2004:315-320.